Encontre os pontos de descontinuidade da função , definida por
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
A função dada é
f(x)= 2x^2+35, &x<=1, 6-5x, &1<x<3, x-3, &x>=3
Queremos achar onde f deixa de ser contínua. Para isso, vamos usar que cada ramo é uma função polinomial ou afim (logo contínua em seu domínio interior) e só precisamos verificar continuidade nos pontos de “troca de fórmula”, isto é, em x=1 e x=3.
Passo 2
Continuidade nos interiores dos intervalos
Cada ramo é polinomial (ou afim), então é contínuo em todo ponto interior ao seu intervalo de validade. Logo, não há descontinuidade para x<1, para 1<x<3 nem para x>3.
Passo 3
Verificação em x=1
Devemos checar
limxto1^-f(x), limxto1^+f(x)
e comparar com f(1).
Para xto1^-, usamos o ramo 2x^2+35:
limxto1^-f(x) =2cdot1^2+35 =55 =1
Para xto1^+, usamos o ramo 6-5x:
limxto1^+f(x) =6-5cdot1 =1
O valor da própria função em x=1 é
f(1)=2cdot1^2+35=1
Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1, f é contínua em x=1.
Passo 4
Verificação em x=3
Agora checamos
limxto3^-f(x), limxto3^+f(x)
e f(3).
Para xto3^-, usamos 6-5x:
limxto3^-f(x) =6-5cdot3 =6-15 =-9
Para xto3^+, usamos x-3:
limxto3^+f(x) =;3-3 =0
E f(3), pelo terceiro ramo, é
f(3)=3-3=0
Note que
limxto3^-f(x)=-9 e limxto3^+f(x)=0,
então os limites laterais não coincidem. Logo há descontinuidade em x=3.