Considere a função f, definida por
f(x)=cc x^2-4x-2+10, & x<2 2 x^3-x, & x >= 2
(a) Determine para que valores de x a função f é contínua;
(b) Prove que existe c tal que f(c)=15.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= x^2-4x-2+10, & x<2, 2x^3-x, & x>=2,
e pede (a) os pontos de continuidade de f e (b) provar que existe c tal que f(c)=15. Vamos usar simplificação algébrica, propriedades de polinômios e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Para x<2 temos
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2,
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f(x)=x+2+10=x+12(x<2)
Como soma de polinômios, x+12 é contínua em todo R; portanto f é contínua para cada x<2.

Passo 3

Para x>=2 a definição é
f(x)=2x^3-x,
que é um polinômio e, portanto, contínuo em todo R. Logo f é contínua para cada x>2 e também em x=2 a partir da direita.

Passo 4

Falta verificar continuidade em x=2. Calculemos
limxto2^-f(x)=limxto2^-(x+12)=2+12=14,
limxto2^+f(x)=limxto2^+(2x^3-x)=2cdot8-2=14,
e o valor da função em x=2 é
f(2)=2cdot2^3-2=16-2=14
Como limite à esquerda, limite à direita e valor coincidem, f é contínua em x=2.

Passo 5

Das observações anteriores concluímos que f é contínua para todo xinR.

Passo 6

Para provar que existe c com f(c)=15, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário no intervalo [2,3], onde f é contínua. Temos
f(2)=14<15,
f(3)=2cdot3^3-3=54-3=51>15
Como 15 está entre f(2) e f(3), existe cin(2,3) tal que f(c)=15.

Resposta

(a) f é contínua para todo xinR.
(b) Pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(2,3) tal que f(c)=15.

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