Encontre os pontos de descontinuidade da função
f(x)= x+1, & se x >= 2 2 x-1, & se 1 <= x<2 x-1, & se x <= 1

Passo 1

Vamos ter uma visão geral da questão: a gente tem uma função definida por partes e precisa achar onde ela não é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções e limites laterais, e vamos usar a definição de continuidade (limite da função igual ao valor da função) e calcular limites laterais nos pontos de transição.

Passo 2

A função é composta por três trechos lineares, e como toda função linear é contínua no seu domínio, não há descontinuidade dentro de cada intervalo aberto ou fechado em que ela se aplica. Logo, nos intervalos (-∞,1), (1,2) e (2,∞) não existem problemas de continuidade.

Passo 3

Agora o ponto x = 1. Calculamos:
– Limite à esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(x-1)=0.
– Limite à direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2x-1)=1.
– Valor da função: como 1 ≤ x < 2 o trecho aplicável é f(1)=2·1−1=1. Como os limites laterais são diferentes, a função tem descontinuidade em x=1.

Passo 4

Agora o ponto x = 2. Calculamos:
– Limite à esquerda:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(2x-1)=3.
– Limite à direita:
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x+1)=3.
– Valor da função: como x ≥ 2 vale f(2)=2+1=3. Todos coincidem, então a função é contínua em x=2.

Resposta

x = 1

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