Se
e
são funções contínuas e se
para todo
, então podemos fazer as seguintes comparações:
i) Se
converge, então
converge;
ii) Se
diverge, então
diverge.
Pelo teste da comparação acima, determine se as integrais abaixo convergem ou divergem:
(Dica: use o fato de
);
i) Se
ii) Se
Pelo teste da comparação acima, determine se as integrais abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testes de comparação para determinar se certas integrais impróprias convergem ou divergem. Basicamente, se temos duas funções contínuas $ f $ e $ g $ onde $ 0 \leq f(x) \leq g(x) $ para todo $ x $ a partir de um ponto $ a $, podemos comparar suas integrais. Vamos usar isso para analisar a integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x} , dx $. Precisamos verificar se essa integral converge ou diverge usando o fato de que $ \ln x \leq x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o teste da comparação para integrais impróprias. Se $ 0 \leq f(x) \leq g(x) $ e a integral de $ g(x) $ converge, então a integral de $ f(x) $ também converge. Da mesma forma, se a integral de $ f(x) $ diverge, a de $ g(x) $ também diverge.
Passo 3
No nosso caso, temos $ f(x) = \frac{1}{\ln x} $. Vamos escolher uma função $ g(x) $ que seja maior ou igual a $ f(x) $ para facilitar a comparação. A dica diz que $ \ln x \leq x $. Então, podemos inverter essa desigualdade para obter uma relação entre $ f(x) $ e $ g(x) $:
Aqui, escolhemos $ g(x) = \frac{1}{x} $.
Passo 4
Sabemos que a integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} , dx $ é conhecida e podemos calcular:
Isso significa que $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} , dx $ diverge.
Passo 5
Como $ f(x) = \frac{1}{\ln x} $ é maior ou igual a $ g(x) = \frac{1}{x} $ para todo $ x \geq 2 $ e a integral de $ g(x) $ diverge, pelo teste da comparação, concluímos que a integral de $ f(x) $ também diverge.
Resposta
A integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x} , dx $ diverge.