Se f e g são funções contínuas e se 0 <= f(x) <= g(x) para todo x in(a, infty), então podemos fazer as seguintes comparações:
i) Se integrala^infty g(x) d x converge, então integrala^infty f(x) d x converge;
ii) Se integrala^infty f(x) d x diverge, então integrala^infty g(x) d x diverge.
Pelo teste da comparação acima, determine se as integrais abaixo convergem ou divergem:
integral2^infty 1ln x d x (Dica: use o fato de ln x <= x );

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testes de comparação para determinar se certas integrais impróprias convergem ou divergem. Basicamente, se temos duas funções contínuas $ f $ e $ g $ onde $ 0 \leq f(x) \leq g(x) $ para todo $ x $ a partir de um ponto $ a $, podemos comparar suas integrais. Vamos usar isso para analisar a integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x} , dx $. Precisamos verificar se essa integral converge ou diverge usando o fato de que $ \ln x \leq x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o teste da comparação para integrais impróprias. Se $ 0 \leq f(x) \leq g(x) $ e a integral de $ g(x) $ converge, então a integral de $ f(x) $ também converge. Da mesma forma, se a integral de $ f(x) $ diverge, a de $ g(x) $ também diverge.

Passo 3

No nosso caso, temos $ f(x) = \frac{1}{\ln x} $. Vamos escolher uma função $ g(x) $ que seja maior ou igual a $ f(x) $ para facilitar a comparação. A dica diz que $ \ln x \leq x $. Então, podemos inverter essa desigualdade para obter uma relação entre $ f(x) $ e $ g(x) $:
f(x) = 1ln x
Aqui, escolhemos $ g(x) = \frac{1}{x} $.

Passo 4

Sabemos que a integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} , dx $ é conhecida e podemos calcular:
integral2^infty 1x , dx
Isso significa que $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} , dx $ diverge.

Passo 5

Como $ f(x) = \frac{1}{\ln x} $ é maior ou igual a $ g(x) = \frac{1}{x} $ para todo $ x \geq 2 $ e a integral de $ g(x) $ diverge, pelo teste da comparação, concluímos que a integral de $ f(x) $ também diverge.

Resposta

A integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x} , dx $ diverge.

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