Seja f(x, y)=(x-1)^2+(y-2)^2+3 e a curva gamma(t)=(1-t, 2+t, z(t)) ; t in R.
Determine z(t) sabendo-se que a imagem de gamma está contida no gráfico de f.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+3 e a curva gamma(t)=(1-t,2+t,z(t)). O gráfico de f é o conjunto (x,y,z):z=f(x,y). Para que a imagem de gamma esteja nesse gráfico, precisamos que z(t)=f(x(t),y(t)).

Passo 2

Atribuindo x(t)=1-t e y(t)=2+t, obtemos z(t)=f(1-t,2+t).

Passo 3

Calculando temos
(1-t-1)^2+(2+t-2)^2+3 = (-t)^2 + t^2 +3 = t^2 + t^2 +3 = 2t^2 +3,
logo z(t)=2t^2+3.

Resposta

z(t)=2t^2+3

Exercícios relacionados