Encontre os pontos de descontinuidade das funções abaixo.
z=ln raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de descontinuidade da função
z = lnraizx^2+y^2
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e domínio de composição de funções elementares ( x^2+y^2, raiz quadrada e logaritmo natural).

Passo 2

Analisamos o domínio de cada parte:
  1. raizx^2+y^2 exige
x^2+y^2>=0,
o que vale para todo (x,y)inR^2.
2. ln(u) exige
u > 0
Logo, precisamos de
raizx^2+y^2>0
Long<=ftrightarrow x^2+y^2>0
Long<=ftrightarrow (x,y)neq(0,0)

Passo 3

Cada função elementar ( x^2+y^2, raizcdot e ln(cdot)) é contínua em seu domínio. Assim, a composição
(x,y)mapsto x^2+y^2mapsto raizx^2+y^2mapsto lnl(raizx^2+y^2r)
é contínua em todo o conjunto onde está definida, que é
(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0

Passo 4

O único ponto em que a função não está definida (e, portanto, é descontínua) é (0,0), pois ali teríamos lnraiz0= ln0, que não existe.

Resposta

A função z=lnraizx^2+y^2 é descontínua somente em (0,0).

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