Sabendo que em cada caso a equação dada define uma função implícita y em termos de x, calcular y^prime(x) para cada caso:
x^4 y^3=3 x^2 y+1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^4y^3=3x^2y+1
e pede y'(x). O método é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e regra da cadeia, e em seguida isolar y'.

Passo 2

Derivando cada lado em relação a x:
ddxl(x^4y^3r)=ddxl(3x^2y+1r)
No lado esquerdo, aplicando produto u=x^4, v=y^3:
4x^3y^3 + x^4cdot 3y^2y'
No lado direito, aplicando produto em 3x^2y e derivando constante:
6xy + 3x^2y'
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4x^3y^3 + 3x^4y^2y' = 6xy + 3x^2y'

Passo 3

Reunindo os termos com y' num lado:
3x^4y^2y' - 3x^2y' = 6xy - 4x^3y^3
Fatorando y':
y'l(3x^4y^2 - 3x^2r) = 6xy - 4x^3y^3
Como 3x^4y^2 - 3x^2 = 3x^2(x^2y^2 - 1), obtemos
y' = 6xy - 4x^3y^33x^2(x^2y^2 - 1)

Resposta

y' = 6xy - 4x^3y^33x^2,(x^2y^2 - 1)

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