Encontre os pontos da elipse
que estão mais distantes do ponto
.
Seja
um ponto da elipse. A distância de
a
é
. Substituindo
, i.e.
, obtemos
. O valor de
que otimiza
é o mesmo que otimiza
. Assim, resolvemos o problema de otimização:
Derivando
e
.
Note que
(e
), donde
admite máximo global para
. A abscissa correspondente satisfaz
,
, i.e.,
ou
Portanto, os pontos pretendidos são
e
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da elipse
que estão mais distantes do ponto
. Vamos usar otimização com restrição, mas percebendo que podemos eliminar uma variável: expressamos a distância em função de
e depois maximizamos.
Passo 2
Seja
na elipse. A distância ao ponto
é
Como na elipse
, definimos
Passo 3
Para maximizar
basta maximizar
. Calculamos a derivada:
e igualamos a zero:
Passo 4
Como
para todo
, o ponto crítico
é máximo global em
, intervalo de
na elipse.
Passo 5
Para
a elipse dá
logo
Resposta
Os pontos são
e
.