Encontre os pontos da elipse x^2+4 y^2=4 que estão mais distantes do ponto (0,1).

(1,5)

Seja P(x, y) um ponto da elipse. A distância de P a (0,1) é d=raizx^2+(y-1)^2. Substituindo x^2+4 y^2=4, i.e. x^2=4-4 y^2, obtemos d=raiz4-4 y^2+(y-1)^2= raiz4-4 y^2+y^2-2 y+1=raiz5-2 y-3 y^2. O valor de y que otimiza d é o mesmo que otimiza d^2. Assim, resolvemos o problema de otimização:
maximizar f(y)=5-2 y-3 y^2, y in R
Derivando f^prime(y)=-2-6 y e f^prime(y)=0 Leftrightarrow-2-6 y=0 Leftrightarrow y=-1 / 3.
Note que f^prime(y)>0 Leftrightarrow y<-1 / 3 (e f^prime(y)<0 Leftrightarrow y>-1 / 3 ), donde f admite máximo global para y=-1 / 3. A abscissa correspondente satisfaz x^2+4 / 9=4, x^2=32 / 9, i.e., x=-4 raiz2 / 3 ou x=-4 raiz2 / 3 Portanto, os pontos pretendidos são (-4 raiz2 / 3,-1 / 3) e (4 raiz2 / 3,-1 / 3).

Passo 1

O enunciado pede os pontos da elipse x^2+4y^2=4 que estão mais distantes do ponto (0,1). Vamos usar otimização com restrição, mas percebendo que podemos eliminar uma variável: expressamos a distância em função de y e depois maximizamos.

Passo 2

Seja P(x,y) na elipse. A distância ao ponto (0,1) é
d=raizx^2+(y-1)^2
Como na elipse x^2=4-4y^2, definimos
f(y)=d^2=x^2+(y-1)^2 =4-4y^2+(y-1)^2 =4-4y^2+y^2-2y+1 =5-2y-3y^2

Passo 3

Para maximizar d basta maximizar f(y). Calculamos a derivada:
f'(y)=-2-6y
e igualamos a zero:
-2-6y=0 Longrightarrow y=-13

Passo 4

Como
f''(y)=-6<0
para todo y, o ponto crítico y=-tfrac13 é máximo global em [-1,1], intervalo de y na elipse.

Passo 5

Para y=-tfrac13 a elipse dá
x^2=4-4y^2 =4-4l(-13r)^2 =4-49 =329,
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x=pm4raiz23

Resposta

Os pontos são l(tfrac4raiz23,-tfrac13r) e l(-tfrac4raiz23,-tfrac13r).

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