Questão 5. (2 pontos) Uma bola (esférica) de naftalina sublima (evapora) a uma taxa que, em cada instante, é proporcional à área de sua superfície (já que a evaporação se dá através de sua superfície).
a) Usando as expressões do volume e da superfície da esfera em função do seu raio dadas por
V=43 pi r^3 S=4 pi r^2
deduza uma equação diferencial para o raio em função do tempo.
b) A bola de naftalina sublima (evapora) completamente em um tempo finito?

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de naftalina cujo volume V=tfrac43pi r^3 diminui porque a taxa de variação tfracdVdt é proporcional à área de superfície S=4pi r^2. O objetivo é encontrar uma equação diferencial para r(t) e decidir se o tempo de sublimação é finito.

Passo 2

Modelamos a taxa de variação do volume por
dVdt = -k,S,
onde k>0 é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que o volume decresce.

Passo 3

Substituindo V e S em função de r, temos
ddtl(tfrac43pi r^3r) = -k,(4pi r^2)
Calculando a derivada do volume:
dVdt = ddtl(tfrac43pi r^3r) =4pi r^2,drdt

Passo 4

Igualando as expressões de tfracdVdt,
4pi r^2,drdt = -k,(4pi r^2) Longrightarrow drdt = -k
Portanto a equação diferencial que governa r(t) é
drdt = -k

Passo 5

Integrando tfracdrdt=-k com condição inicial r(0)=r0, obtém-se
r(t)=r0-k,t
A esfera some ( r=0) quando t = r0/k, que é finito.

Resposta

a) drdt = -k
b) Sim. O raio chega a zero em tempo finito T = r0/k.

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