Questão 5. (2 pontos) Uma bola (esférica) de naftalina sublima (evapora) a uma taxa que, em cada instante, é proporcional à área de sua superfície (já que a evaporação se dá através de sua superfície).
a) Usando as expressões do volume e da superfície da esfera em função do seu raio dadas por
deduza uma equação diferencial para o raio em função do tempo.
b) A bola de naftalina sublima (evapora) completamente em um tempo finito?
a) Usando as expressões do volume e da superfície da esfera em função do seu raio dadas por
b) A bola de naftalina sublima (evapora) completamente em um tempo finito?
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera de naftalina cujo volume
diminui porque a taxa de variação
é proporcional à área de superfície
. O objetivo é encontrar uma equação diferencial para
e decidir se o tempo de sublimação é finito.
Passo 2
Modelamos a taxa de variação do volume por
onde
é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que o volume decresce.
Passo 3
Substituindo
e
em função de
, temos
Calculando a derivada do volume:
Passo 4
Igualando as expressões de
,
Portanto a equação diferencial que governa
é
Passo 5
Integrando
com condição inicial
, obtém-se
A esfera some (
) quando
, que é finito.
Resposta
a)
b) Sim. O raio chega a zero em tempo finito .
b) Sim. O raio chega a zero em tempo finito