Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos S subset R^3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R^3 por (x, y, z).
x+y=1.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x + y = 1
e pede para verificar se S é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos checar as propriedades de subespaço: em particular, se o vetor zero está em S e se S é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Em todo subespaço vetorial deve pertencer o vetor zero (0,0,0). Aqui,
x+y = 0+0 = 0 neq 1,
logo (0,0,0)notin S. Como falta o vetor zero, S não pode ser subespaço vetorial (nem vale a pena checar as demais propriedades).

Resposta

S não é um subespaço vetorial de R^3.

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