Sejam f(x, y)=x^{2}+y^{2} e \bar{g}(t)=\left(e^{t}, e^{-t}\right). Calcule \partial(f \circ g)(t) / \partial t.
12. O raio de uma esfera diminui a uma taxa de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{seg} e o raio da base de um cone reto inscrito em dita esfera aumenta a uma taxa de 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{seg}. A que velocidade o volume do cone cresce quando o raio da esfera é 10 cm e o radio da base do cone é 6 cm .

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis para calcular \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\bigl(f\circ \bar g\bigr)(t)
quando f(x,y)=x^2+y^2 e \bar g(t)=(e^t,e^{-t}).
Em seguida, temos um problema de taxas relacionadas: uma esfera de raio r decresce com \dfrac{dr}{dt}=-2,cm/s e num cone reto inscrito seu raio de base R cresce com \dfrac{dR}{dt}=1,cm/s. Queremos a taxa de variação do volume do cone quando r=10,cm e R=6,cm.

Passo 2

Para a primeira parte, aplicamos a regra da cadeia em coordenadas: se h(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr), então
\frac{dh}{dt} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui (x(t),y(t))=\bar g(t)=(e^t,e^{-t}).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
E as derivadas de \bar g:
\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}\bigl(e^t\bigr)=e^t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)=-e^{-t}.

Passo 4

Substituindo em \tfrac{d}{dt}(f\circ \bar g):
\frac{d}{dt}(f\circ \bar g)(t) =2x\,e^t+2y\,(-e^{-t}) =2e^t\cdot e^t-2e^{-t}\cdot e^{-t} =2e^{2t}-2e^{-2t}.

Passo 5

Agora o cone reto inscrito na esfera de raio r. O volume do cone é
V=\frac{\pi R^2\,h}{3},
onde R é o raio da base e h a altura. Como o cone é inscrito, sua base fica num plano a uma distância c do centro da esfera, satisfazendo
c^2+R^2=r^2.
Se colocarmos a origem no centro da esfera e o vértice do cone no “topo” (coordenada z=r), a base do cone está em z=c, de modo que a altura do cone é
h=r-c =r-\sqrt{r^2-R^2}.

Passo 6

Vamos diferenciar h em relação a t. Como
h(t)=r(t)-\sqrt{\,r(t)^2-R(t)^2\,},
usamos derivada de uma raiz:
\frac{dh}{dt} =\frac{dr}{dt} -\frac{1}{2\sqrt{r^2-R^2}}\, \bigl(2r\,\frac{dr}{dt}-2R\,\frac{dR}{dt}\bigr).

Passo 7

Substituindo \tfrac{dr}{dt}=-2, \tfrac{dR}{dt}=1, r=10, R=6 e \sqrt{r^2-R^2}=\sqrt{100-36}=8, obtemos
\frac{dh}{dt} =-2 -\frac{1}{2\cdot 8}\bigl(2\cdot10\cdot(-2)-2\cdot6\cdot1\bigr) =-2 -\frac{1}{16}(-40-12) =-2+\frac{52}{16} =-2+3{,}25 =1{,}25\\ \text{cm/s}.

Passo 8

Agora diferenciamos o volume:
\frac{dV}{dt} =\frac{\pi}{3}\Bigl(2R\,\frac{dR}{dt}\,h +R^2\,\frac{dh}{dt}\Bigr).
Em R=6, h=10-8=2, \tfrac{dR}{dt}=1, \tfrac{dh}{dt}=1{,}25:
\frac{dV}{dt} =\frac{\pi}{3}\Bigl(2\cdot6\cdot1\cdot2+6^2\cdot1{,}25\Bigr) =\frac{\pi}{3}(24+45) =\frac{69\pi}{3} =23\pi\\ \text{cm}^3\!/s.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}(f\circ \bar g)(t)=2e^{2t}-2e^{-2t}.
A velocidade de crescimento do volume do cone é \displaystyle 23\pi,c m^{3}/s.

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