Sejam
e
. Calcule
.
12. O raio de uma esfera diminui a uma taxa de
e o raio da base de um cone reto inscrito em dita esfera aumenta a uma taxa de
. A que velocidade o volume do cone cresce quando o raio da esfera é 10 cm e o radio da base do cone é 6 cm .
12. O raio de uma esfera diminui a uma taxa de
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis para calcular
quando e
.
Em seguida, temos um problema de taxas relacionadas: uma esfera de raio decresce com
,cm/s e num cone reto inscrito seu raio de base
cresce com
,cm/s. Queremos a taxa de variação do volume do cone quando
,cm e
,cm.
quando
Em seguida, temos um problema de taxas relacionadas: uma esfera de raio
Passo 2
Para a primeira parte, aplicamos a regra da cadeia em coordenadas: se
, então
Aqui
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
E as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo em
:
Passo 5
Agora o cone reto inscrito na esfera de raio
. O volume do cone é
onde
é o raio da base e
a altura. Como o cone é inscrito, sua base fica num plano a uma distância
do centro da esfera, satisfazendo
Se colocarmos a origem no centro da esfera e o vértice do cone no “topo” (coordenada
), a base do cone está em
, de modo que a altura do cone é
Passo 6
Vamos diferenciar
em relação a
. Como
usamos derivada de uma raiz:
Passo 7
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
Passo 8
Agora diferenciamos o volume:
Em
,
,
,
:
Resposta
A velocidade de crescimento do volume do cone é