Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \sin(\alpha) \cos(\beta) $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver, vamos precisa entender como derivar em relação a cada variável, tratando a outra como uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas ou mais variáveis, como $ z = \sin(\alpha) \cos(\beta) $, a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo, $ \alpha $) é a taxa de variação de $ z $ quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ z $ em relação a $ \alpha $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial \alpha} $.
A função é:
Ao derivar em relação a $ \alpha $, tratamos $ \cos(\beta) $ como uma constante. A derivada de $ \sin(\alpha) $ em relação a $ \alpha $ é $ \cos(\alpha) $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ \beta $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial \beta} $.
A função é novamente:
Dessa vez, ao derivar em relação a $ \beta $, tratamos $ \sin(\alpha) $ como uma constante. A derivada de $ \cos(\beta) $ em relação a $ \beta $ é $ -\sin(\beta) $. Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \sin(\alpha) \cos(\beta) $ são:
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