Questão 6

A matriz M a seguir possui inversa? Se a resposta for sim, encontre M^-1.
M=[ccc 1 & -1 & 2 2 & 5 & 0 1 & 3 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = 1 & -1 & 2 2 & 5 & 0 1 & 3 & 1
e pede para verificar se M é invertível e, em caso afirmativo, calcular M^-1.
Conteúdo: determinante, cofatores, matriz adjunta e fórmula
M^-1 = 1det(M),adj(M)

Passo 2

Calcular o determinante de M por expansão na primeira linha:
det(M) =1cdotdet5&03&1 -(-1)cdotdet2&01&1 +2cdotdet2&51&3
Compute cada menor:
det5&03&1=5cdot1-0cdot3=5, det2&01&1=2cdot1-0cdot1=2,
det2&51&3=2cdot3-5cdot1=6-5=1
Logo
det(M)=1cdot5 -(-1)cdot2 +2cdot1 =5+2+2 =9 neq 0,
portanto M é invertível.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C. Para cada entrada cij calculamos
cij=(-1)^i+jdet(Mij),
onde Mij é a menor obtida eliminando linha i e coluna j.
Os cofatores são:
C= +5 & -2 & +1 +7 & -1 & -4 -10& +4 & +7

Passo 4

Obter a matriz adjunta como a transposta de C:
adj(M)=C^T = 5 & 7 & -10 -2 & -1 & 4 1 & -4 & 7
Finalmente aplicamos
M^-1 = 1det(M),adj(M) = 19 5 & 7 & -10 -2 & -1 & 4 1 & -4 & 7

Resposta

M^-1 = 19 5 & 7 & -10 -2 & -1 & 4 1 & -4 & 7

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