Encontre a transformação fracionária linear que leva os pontos distintos z1, z2, z3 in C em w1=0, w2=1, w3=infty.

Passo 1

A questão pede para achar uma transformação fracionária (ou de Möbius) que leva três pontos distintos z1,z2,z3 em w1=0,;w2=1,;w3=infty. O conteúdo envolve entender a forma geral de uma transformação de Möbius e como usar três condições para determinar seus parâmetro(s).

Passo 2

Uma transformação fracionária geral tem a forma T(z)=dfraca z + bc z + d. Para enviar z3 a infty, basta fazer o denominador zero em z=z3. Assim, podemos escrever uma forma específica
T(z)=A,z - z1z - z3

Passo 3

Agora impomos a condição T(z2)=1. Substituindo:
1 = T(z2)=A,z2 - z1z2 - z3

Passo 4

Daí obtemos o fator de escala A:
A=z2 - z3z2 - z1

Passo 5

Substituindo A de volta em T(z), obtemos a transformação procurada.

Resposta

T(z)=(z - z1),(z2 - z3)(z - z3),(z2 - z1)

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