Encontre os pontos x\), se houver, nos quais \(f\) não é contínua. \(f(x)= \begin{cases}2 x+3, & x \leq 4 \\\\ 7+\frac{x}{16}, & x>4\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre os pontos x\), se houver, nos quais \(f\) não é contínua." A função dada é a função por partes \[f(x)= \begin{cases}2x+3, & x \leq 4 \\[4pt] 7+\dfrac{x}{16}, & x>4\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\leq 4\] a expressão é \(2x+3.
  • Para x>4 a expressão é 7+\dfrac{x}{16}.
  • A mudança de fórmula ocorre em x=4.]

Passo 2

Definição útil (explicada com calma): dizemos que f é contínua num ponto a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções por partes é prático verificar as três coisas:
  1. existe o limite à esquerda \lim_{x\to a^-} f(x);
  2. existe o limite à direita \lim_{x\to a^+} f(x);
  3. esses dois limites são iguais e iguais a f(a).
    Se qualquer uma dessas falhar, f não é contínua em a.

Passo 3

Observação sobre onde checar continuidade:
  • Em pontos onde a fórmula não muda (ou seja, pontos estritamente menores que 4 e estritamente maiores que 4), cada ramo é uma função linear. Funções lineares são contínuas em todo ponto, então não há problema aí.
  • O único ponto que precisa ser testado é o ponto onde a definição muda: x=4. Portanto vamos verificar a continuidade em x=4.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda em x=4. Como para x\leq 4 vale f(x)=2x+3 e essa expressão é contínua à esquerda de 4, basta substituir x=4:
\lim_{x\to 4^-} f(x)=\lim_{x\to 4^-} (2x+3)=2\cdot 4+3=8+3=11.

Passo 5

Calcular o limite à direita em x=4. Para x>4 vale f(x)=7+\dfrac{x}{16}. Substituindo x=4 (porque a expressão é contínua à direita de 4):
\lim_{x\to 4^+} f(x)=\lim_{x\to 4^+}\left(7+\dfrac{x}{16}\right)=7+\dfrac{4}{16}=7+\dfrac{1}{4}=\dfrac{29}{4}=7{,}25.

Passo 6

Comparação e conclusão em x=4: os limites laterais não coincidem,
\lim_{x\to 4^-} f(x)=11 \neq \dfrac{29}{4}=\lim_{x\to 4^+} f(x).
Como os limites laterais são diferentes, \lim_{x\to 4} f(x) não existe, portanto f não é contínua em x=4. Para todo x\neq 4 a função é contínua porque cada ramo é linear.

Resposta

x=4

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