Exemplo 6: Considere o conjunto das matrizes de ordem 2 com entrada reais. Qual seria a operação que poderíamos definir entre essas matrizes de modo a termos um grupo?
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais. Em notação, esse conjunto é
, isto é, todas as matrizes
O que a questão pede: definir uma operação entre essas matrizes de modo que o conjunto (com essa operação) seja um grupo. Ou seja, apresentar uma operação natural e (se necessário) justificar que as propriedades de grupo são satisfeitas.]
Passo 2
Rápida lembrança do que é um grupo (para depois checar cada condição): um conjunto
com uma operação binária
é grupo se valem quatro axiomas:
- Fechamento: para todo
, tem . - Associatividade: para todo
, . - Existência de elemento neutro: existe
tal que para todo . - Existência de inversos: para todo
existe tal que .
Se ainda for verdade que
para todos, dizemos que o grupo é abeliano (comutativo). Vou usar essa definição passo a passo para checar a operação que vou propor.
Passo 3
Proposta mais simples e padrão: usar a adição usual de matrizes como operação. Definição explícita: para
,
ou seja, soma componente a componente. Agora vamos verificar os axiomas do grupo para
.]
Passo 4
Fechamento sob soma. Seja
. Cada entrada de
é soma de dois números reais, por exemplo
. Como soma de reais é real, todas as entradas de
são reais. Logo
. Portanto a soma é fechada em
.
Passo 5
Associatividade da soma. A soma de matrizes é definida componente a componente, e a soma em
é associativa. Formalmente, para
, cada componente satisfaz
Como todas as componentes coincidem,
. Assim a operação é associativa.
Passo 6
Elemento neutro. A matriz nula
tem entradas todas iguais a
. Para qualquer
vale
(componente a componente:
). Portanto
é o elemento neutro da adição.]
Passo 7
Inversos aditivos. Para qualquer
definimos
por
Temos
, porque em cada componente
. Assim todo elemento tem inverso na mesma estrutura.]
Passo 8
Comutatividade. De novo, soma componente a componente herda comutatividade da soma em
:
. Portanto o grupo é abeliano.
Passo 9
Conclusão sobre a proposta principal: com a operação de adição,
satisfaz fechamento, associatividade, elemento neutro, existência de inversos e ainda é comutativo. Então é um grupo abeliano. Esse é o exemplo mais direto e o que normalmente se espera como resposta.
Passo 10
Observação adicional (útil para a prova): e quanto à multiplicação de matrizes? O conjunto inteiro
com a multiplicação usual de matrizes NÃO é um grupo, porque nem toda matriz tem inversa multiplicativa (por exemplo a matriz nula não tem inversa). As propriedades válidas são: a multiplicação é fechada e associativa, e existe identidade
, mas falta inverso para matrizes singulares. No entanto, se restringirmos o conjunto ao subconjunto das matrizes invertíveis
então
é um grupo — não comutativo em geral — porque produto de invertíveis é invertível (fechamento), existe
e cada matriz tem inversa.
Resposta
A operação mais direta é a adição usual de matrizes; assim
é um grupo abeliano.
Alternativamente, sob multiplicação só o subconjunto forma um grupo (não abeliano).
Alternativamente, sob multiplicação só o subconjunto