Exemplo 6: Considere o conjunto das matrizes de ordem 2 com entrada reais. Qual seria a operação que poderíamos definir entre essas matrizes de modo a termos um grupo?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais. Em notação, esse conjunto é M_{2}(\mathbb{R}), isto é, todas as matrizes
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \quad\text{com }a_{ij}\in\mathbb{R}.
O que a questão pede: definir uma operação entre essas matrizes de modo que o conjunto (com essa operação) seja um grupo. Ou seja, apresentar uma operação natural e (se necessário) justificar que as propriedades de grupo são satisfeitas.]

Passo 2

Rápida lembrança do que é um grupo (para depois checar cada condição): um conjunto G com uma operação binária \ast é grupo se valem quatro axiomas:
  1. Fechamento: para todo x,y\in G, tem x\ast y\in G.
  2. Associatividade: para todo x,y,z\in G, (x\ast y)\ast z = x\ast (y\ast z).
  3. Existência de elemento neutro: existe e\in G tal que e\ast x = x\ast e = x para todo x\in G.
  4. Existência de inversos: para todo x\in G existe x^{-1}\in G tal que x\ast x^{-1} = x^{-1}\ast x = e.
Se ainda for verdade que x\ast y = y\ast x para todos, dizemos que o grupo é abeliano (comutativo). Vou usar essa definição passo a passo para checar a operação que vou propor.

Passo 3

Proposta mais simples e padrão: usar a adição usual de matrizes como operação. Definição explícita: para A,B\in M_{2}(\mathbb{R}),
A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\[4pt] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix},
ou seja, soma componente a componente. Agora vamos verificar os axiomas do grupo para \bigl(M_{2}(\mathbb{R}),+\bigr).]

Passo 4

Fechamento sob soma. Seja A,B\in M_{2}(\mathbb{R}). Cada entrada de A+B é soma de dois números reais, por exemplo (A+B)_{11}=a_{11}+b_{11}. Como soma de reais é real, todas as entradas de A+B são reais. Logo A+B\in M_{2}(\mathbb{R}). Portanto a soma é fechada em M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 5

Associatividade da soma. A soma de matrizes é definida componente a componente, e a soma em \mathbb{R} é associativa. Formalmente, para A,B,C\in M_{2}(\mathbb{R}), cada componente satisfaz
\bigl((A+B)+C\bigr)_{ij}=(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})=\bigl(A+(B+C)\bigr)_{ij}.
Como todas as componentes coincidem, (A+B)+C=A+(B+C). Assim a operação é associativa.

Passo 6

Elemento neutro. A matriz nula
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
tem entradas todas iguais a 0\in\mathbb{R}. Para qualquer A\in M_{2}(\mathbb{R}) vale A+0=0+A=A (componente a componente: a_{ij}+0=a_{ij}). Portanto 0 é o elemento neutro da adição.]

Passo 7

Inversos aditivos. Para qualquer A\in M_{2}(\mathbb{R}) definimos -A por
-A=\begin{pmatrix}-a_{11} & -a_{12}\\[4pt]-a_{21} & -a_{22}\end{pmatrix}.
Temos A+(-A)=(-A)+A=0, porque em cada componente a_{ij}+(-a_{ij})=0. Assim todo elemento tem inverso na mesma estrutura.]

Passo 8

Comutatividade. De novo, soma componente a componente herda comutatividade da soma em \mathbb{R}: A+B=B+A. Portanto o grupo é abeliano.

Passo 9

Conclusão sobre a proposta principal: com a operação de adição, \bigl(M_{2}(\mathbb{R}),+\bigr) satisfaz fechamento, associatividade, elemento neutro, existência de inversos e ainda é comutativo. Então é um grupo abeliano. Esse é o exemplo mais direto e o que normalmente se espera como resposta.

Passo 10

Observação adicional (útil para a prova): e quanto à multiplicação de matrizes? O conjunto inteiro M_{2}(\mathbb{R}) com a multiplicação usual de matrizes NÃO é um grupo, porque nem toda matriz tem inversa multiplicativa (por exemplo a matriz nula não tem inversa). As propriedades válidas são: a multiplicação é fechada e associativa, e existe identidade I, mas falta inverso para matrizes singulares. No entanto, se restringirmos o conjunto ao subconjunto das matrizes invertíveis
\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})=\{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid \det(A)\neq 0\},
então \bigl(\operatorname{GL}(2,\mathbb{R}),\\ \text{multiplicação}\bigr)çã é um grupo — não comutativo em geral — porque produto de invertíveis é invertível (fechamento), existe I e cada matriz tem inversa.

Resposta

A operação mais direta é a adição usual de matrizes; assim \bigl(M_{2}(\mathbb{R}),+\bigr) é um grupo abeliano.
Alternativamente, sob multiplicação só o subconjunto \operatorname{GL}(2,\mathbb{R})=\{A\in M_{2}(\mathbb{R})\mid\det(A)\neq0\} forma um grupo (não abeliano).

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