a) Seja ( \mathrm{G}, * ) um grupo e a, b elementos tomados no grupo G. Prove que a equação a^{*} \mathrm{x}=b tem solução única.
b) Se ( \mathrm{G},{ }^{*} ) for o grupo aditivo dos números inteiros, ou seja, \mathrm{G}=\mathrm{Z} e a operação * é a soma + de números inteiros, qual é a solução de -3^{*} x=5 ?
c) Considere o grupo aditivo ( z_{5}, \oplus ), qual seria a solução da equação \overline{3} \oplus \bar{x}=\overline{1} ?
Passo 1
O enunciado nos dá três itens distintos. Vou listar claramente o que é pedido e quais são as informações fornecidas:
(a) Foi dado um grupo (\mathrm{G},*) e dois elementos a,b\in\mathrm{G}. Pede-se provar que a equação a * x = b tem solução única (interpreto a^{*}x como a * x, isto é, a operação do grupo aplicada a a e x).
(b) Agora \mathrm{G}=\mathbb{Z} com a operação * sendo a soma usual +. Pede-se resolver -3 * x = 5 no grupo aditivo (\mathbb{Z},+).
(c) Finalmente, no grupo aditivo (\mathbb{Z}_5,\oplus) (classes mod 5 com soma), pede-se resolver \overline{3}\oplus\overline{x}=\overline{1}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Em (a) temos só a hipótese de que (\mathrm{G},*) é um grupo (logo vale associatividade, existe elemento neutro e e cada elemento tem inverso).
Em (b) a operação é soma em \mathbb{Z}.
Em (c) a operação é soma de classes mod 5.
Passo 2
Lembrete rápido e aula curta sobre grupos (para poder usar nas demonstrações):
Definição: (\mathrm{G},*) é um grupo se:
(Fechamento) Para todo u,v\in\mathrm{G}, u * v\in\mathrm{G}.
(Associatividade) Para todo u,v,w\in\mathrm{G}, (u * v) * w = u * (v * w).
(Elemento neutro) Existe e\in\mathrm{G} tal que para todo u\in\mathrm{G}, e * u = u * e = u.
(Inverso) Para cada u\in\mathrm{G} existe u^{-1}\in\mathrm{G} tal que u * u^{-1} = u^{-1} * u = e.
Observação prática: a prova de existência e unicidade de solução para a * x = b usa só essas propriedades. A ideia é "multiplicar à esquerda por a^{-1}" para isolar x. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Construção natural: considere x_0 = a^{-1} * b. Quero verificar que x_0 resolve a * x = b.
Use associatividade e a definição de inverso e neutro:
a * x_0 \;=\; a * (a^{-1} * b).
Pela associatividade,
a * (a^{-1} * b) = (a * a^{-1}) * b.
Pela propriedade de inverso, a * a^{-1} = e. Logo
(a * a^{-1}) * b = e * b.
Pelo papel do elemento neutro, e * b = b. Portanto
a * x_0 = b.
Concluímos que x_0 = a^{-1} * b é uma solução — a solução existe.
Passo 4
Agora mostro que não pode haver duas soluções distintas. Suponha que x e y sejam soluções de a * z = b, ou seja
a * x = b \quad\text{e}\quad a * y = b.
Então a * x = a * y. Multiplico (à esquerda) ambos os membros por a^{-1} — isto é permitido e bem definido no grupo — e uso associatividade:
a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (a * y).
Pela associatividade,
(a^{-1} * a) * x = (a^{-1} * a) * y.
Pela propriedade do inverso, a^{-1} * a = e, então
e * x = e * y.
Usando o neutro obtemos x = y. Assim qualquer par de soluções coincide: a solução é única.
Passo 5
Juntando existência e unicidade, concluímos que, em qualquer grupo (\mathrm{G},*), a equação a * x = b tem exatamente uma solução, dada por
x = a^{-1} * b.
Isso é a resposta geral e a técnica que se usa numa prova/questão de prova: aplicar o inverso à esquerda para isolar x.
Passo 6
No grupo aditivo (\mathbb{Z},+) o inverso de um inteiro t é -t (porque t + (-t) = 0). Pelo resultado geral, a solução de -3 * x = 5 (isto é, -3 + x = 5) é
x = (-3)^{-1} + 5.
Mas (-3)^{-1} no grupo aditivo é -(-3)=3. Portanto
x = 3 + 5 = 8.
Verificação rápida: -3 + 8 = 5. Beleza!
Passo 7
No grupo (\mathbb{Z}_5,\oplus) (soma de classes mod 5), o inverso de \overline{3} é o elemento \overline{t} tal que \overline{3}\oplus\overline{t}=\overline{0}. Como 3+2=5\equiv 0\pmod{5}, o inverso de \overline{3} é \overline{2}.
Pelo resultado geral, a solução de \overline{3}\oplus\overline{x}=\overline{1} é