(3,5 pontos) Calcule a integral \iint_{R}(2 x+y) d A, onde R é a região comprendida pelas retas y=3, y=x+1 e y=-x+1. Esboce a região R.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral dupla
\iint_{R}(2x+y)\,dA
e esboçar a região R. A região R é a região do plano limitada pelas três retas dadas:
  • y=3,
  • y=x+1,
  • y=-x+1.
Lista das informações relevantes que temos:
  • As três curvas que limitam R são retas simples (duas inclinadas simetricamente e uma horizontal).
  • A região R é a interseção do semiplano abaixo de alguma reta e acima de outra; vamos achar exatamente os vértices para saber o formato (triângulo, retângulo, etc.).
    A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as retas (isto nos dá os vértices do polígono R).
  1. Interseção de y=x+1 com y=-x+1: igualando as duas expressões para y,
x+1=-x+1 \quad\Rightarrow\quad 2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
logo y=0+1=1. Ponto: (0,1).
  1. Interseção de y=3 com y=x+1: resolver
3=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Ponto: (2,3).
  1. Interseção de y=3 com y=-x+1: resolver
3=-x+1 \quad\Rightarrow\quad -x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
Ponto: (-2,3).
Portanto os vértices da região R são (-2,3), (2,3) e (0,1). Isso indica que R é um triângulo com base horizontal em y=3 entre x=-2 e x=2 e vértice inferior em (0,1).

Passo 3

Esboço descritivo da região R (como “desenhar” na prova):
  • Marcar no plano os pontos (-2,3), (2,3) e (0,1).
  • Unir esses pontos: a aresta superior é a reta horizontal y=3 entre x=-2 e x=2; as outras duas arestas são as retas inclinadas y=x+1 (que vai de (0,1) até (2,3)) e y=-x+1 (que vai de (0,1) até (-2,3)).
    Assim obtém-se um triângulo isósceles com topo para baixo.

Passo 4

Escolher uma ordem de integração e escrever a integral iterada. Uma escolha conveniente é integrar primeiro em x (fatias verticais) e depois em y, porque as duas retas inclinadas podem ser escritas explicitamente como x em função de y.
Das equações das retas isolamos x:
y=x+1 \\ \Rightarrow\\ x=y-1, \qquad y=-x+1 \\ \Rightarrow\\ x=1-y.
Para um dado valor de y entre 1 e 3, x varia da reta esquerda x=1-y até a reta direita x=y-1. O intervalo em y é de y=1 (o vértice inferior) até y=3 (a base horizontal). Logo a integral iterada é
\iint_{R}(2x+y)\,dA=\int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=\,1-y}^{\,y-1} (2x+y)\,dx\right)dy.

Passo 5

Calcular a integral interna (em x). Integramos a função em x, tratando y como constante:
\int (2x+y)\,dx = \int 2x\,dx + \int y\,dx = x^2 + yx + C.
Avaliar entre x=1-y e x=y-1:
\left[x^2 + yx\right]_{x=1-y}^{x=y-1} = \bigl((y-1)^2 + y(y-1)\bigr) - \bigl((1-y)^2 + y(1-y)\bigr).
Agora simplificar cada termo:
(y-1)^2 + y(y-1) = (y^2-2y+1) + (y^2-y) = 2y^2-3y+1,
(1-y)^2 + y(1-y) = (1-2y+y^2) + (y-y^2) = 1-y.
Subtraindo:
\bigl(2y^2-3y+1\bigr) - \bigl(1-y\bigr) = 2y^2-2y = 2y(y-1).
Portanto a integral interna reduz-se a 2y(y-1), e a integral dupla fica
\iint_{R}(2x+y)\,dA=\int_{1}^{3} 2y(y-1)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral em y. Expandindo o integrando:
2y(y-1)=2y^2-2y.
Integrando termo a termo:
\int_{1}^{3} (2y^2-2y)\,dy = \left[\frac{2}{3}y^3 - y^2\right]_{1}^{3}.
Avaliar nos limites produz o seguinte valor a ser simplificado:
\left(\frac{2}{3}\cdot 3^3 - 3^2\right) - \left(\frac{2}{3}\cdot 1^3 - 1^2\right) = 9 - \left(-\tfrac{1}{3}\right).

Resposta

\dfrac{28}{3}

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