(3,5 pontos) Calcule a integral
, onde
é a região comprendida pelas retas
,
e
. Esboce a região
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral dupla
e esboçar a região
. A região
é a região do plano limitada pelas três retas dadas:
-
, -
, -
.
Lista das informações relevantes que temos:
- As três curvas que limitam
são retas simples (duas inclinadas simetricamente e uma horizontal). - A região
é a interseção do semiplano abaixo de alguma reta e acima de outra; vamos achar exatamente os vértices para saber o formato (triângulo, retângulo, etc.).
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as retas (isto nos dá os vértices do polígono
).
- Interseção de
com : igualando as duas expressões para ,
logo
. Ponto:
.
- Interseção de
com : resolver
Ponto:
.
- Interseção de
com : resolver
Ponto:
.
Portanto os vértices da região
são
,
e
. Isso indica que
é um triângulo com base horizontal em
entre
e
e vértice inferior em
.
Passo 3
Esboço descritivo da região
(como “desenhar” na prova):
- Marcar no plano os pontos
, e . - Unir esses pontos: a aresta superior é a reta horizontal
entre e ; as outras duas arestas são as retas inclinadas (que vai de até ) e (que vai de até ).
Assim obtém-se um triângulo isósceles com topo para baixo.
Passo 4
Escolher uma ordem de integração e escrever a integral iterada. Uma escolha conveniente é integrar primeiro em
(fatias verticais) e depois em
, porque as duas retas inclinadas podem ser escritas explicitamente como
em função de
.
Das equações das retas isolamos
:
Para um dado valor de
entre
e
,
varia da reta esquerda
até a reta direita
. O intervalo em
é de
(o vértice inferior) até
(a base horizontal). Logo a integral iterada é
Passo 5
Calcular a integral interna (em
). Integramos a função em
, tratando
como constante:
Avaliar entre
e
:
Agora simplificar cada termo:
Subtraindo:
Portanto a integral interna reduz-se a
, e a integral dupla fica
Passo 6
Calcular a integral em
. Expandindo o integrando:
Integrando termo a termo:
Avaliar nos limites produz o seguinte valor a ser simplificado: