Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
f(x)=x^4 / 3+4 x^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar os pontos de inflexão de f(x)=x{4/3}+4x{1/3} e, em seguida, determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo. O conteúdo aqui é derivadas e concavidade: vamos precisar da primeira e da segunda derivada de f.

Passo 2

Vamos calcular f’(x) usando a regra da potência. A derivada de x^{4/3} é (4/3)x^{1/3} e a de 4x^{1/3} é 4·(1/3)x{-2/3}=(4/3)x{-2/3}. Logo:
$$
f’(x)=\frac{4}{3}x{1/3}+\frac{4}{3}x{-2/3}. f'(x)=43x^1/3+43x^-2/3
f’’(x)=\frac{4}{9}x{-2/3}-\frac{8}{9}x{-5/3}. f''(x)=49x^-2/3-89x^-5/3
f’’(x)=\frac{4}{9}x^{-5/3}(x-2). $$

Passo 3

Para achar potenciais pontos de inflexão, zeramos f’’(x) e vemos onde ela é indefinida. Da fatoração, f’’(x)=0 ⇒ x-2=0 ⇒ x=2. Além disso, f’’(x) é indefinida em x=0 por causa de x^{-5/3}.

Passo 4

Vamos estudar o sinal de f’’(x) em três intervalos: x<0, 0<x<2 e x>2.
  • Se x<0, x^{-5/3}<0 e (x-2)<0, logo f’’>0 ⇒ côncavo para cima.
  • Se 0<x<2, x^{-5/3}>0 e (x-2)<0, logo f’’<0 ⇒ côncavo para baixo.
  • Se x>2, x^{-5/3}>0 e (x-2)>0, logo f’’>0 ⇒ côncavo para cima.

Passo 5

Como a concavidade muda em x=0 (de cima para baixo) e em x=2 (de baixo para cima), esses são pontos de inflexão. Calculando f nesses pontos: f(0)=0 e f(2)=2{4/3}+4·2{1/3}=6·2^{1/3}.

Passo 6

Portanto, os pontos de inflexão são (0,0) e \bigl(2,6·2^{1/3}\bigr). O gráfico é côncavo para cima em (-∞,0)∪(2,∞) e côncavo para baixo em (0,2).

Resposta

Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(2,6·2^{1/3}\bigr).
Côncavo para cima em (-∞,0)∪(2,∞).
Côncavo para baixo em (0,2).

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