Nas funções a seguir, ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira; determine os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente:
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos relativos de
usando o teste da derivada primeira e também encontrar onde
é crescente ou decrescente. Isso envolve cálculo de derivada, localização de pontos críticos (
ou derivada indefinida) e análise do sinal de
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Usando a regra do produto e regra da cadeia temos:
Passo 3
A derivada de
é
e a de
é
. Logo:
Passo 4
Para simplificar, fatoramos
:
Passo 5
O colchete interno fica
Passo 6
Logo podemos escrever
Passo 7
Os pontos críticos surgem de
, ou seja quando
Passo 8
Da primeira condição vem
. A equação cúbica
Passo 9
não tem raízes racionais simples, mas há uma única raiz real aproximada em
.
Passo 10
Para saber onde
é positivo ou negativo, observamos o sinal de cada fator: em
temos
e
, logo
. Em
o segundo fator fica negativo e o primeiro positivo, então
. Para
ambos os fatores são negativos, resultando em
.
Isso mostra que é crescente em
, decrescente em
e novamente crescente em
.
Isso mostra que
Passo 11
Como
muda de positivo para negativo em
, há um máximo relativo aí; e como muda de negativo para positivo em
, há um mínimo relativo em
. Calculando os valores:
Resposta
Máximo relativo em
com
; mínimo relativo em
com
. A função é crescente em
e decrescente em
.