Nas funções a seguir, ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; determine os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente:
f(x)=(1-x)^2(1+x^3)

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos relativos de f(x)=(1-x)^2(1+x^3) usando o teste da derivada primeira e também encontrar onde f é crescente ou decrescente. Isso envolve cálculo de derivada, localização de pontos críticos ( f'=0 ou derivada indefinida) e análise do sinal de f'.

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(x). Usando a regra do produto e regra da cadeia temos:
f'(x)=ddxl((1-x)^2r),(1+x^3)+(1-x)^2,ddx(1+x^3)

Passo 3

A derivada de (1-x)^2 é -2(1-x) e a de 1+x^3 é 3x^2. Logo:
f'(x)=-2(1-x)(1+x^3)+3x^2(1-x)^2

Passo 4

Para simplificar, fatoramos (1-x):
f'(x)=(1-x)l[-2(1+x^3)+3x^2(1-x)r]

Passo 5

O colchete interno fica
-2-2x^3+3x^2-3x^3=-2+3x^2-5x^3

Passo 6

Logo podemos escrever
f'(x)=(1-x)(-2+3x^2-5x^3)

Passo 7

Os pontos críticos surgem de f'(x)=0, ou seja quando
1-x=0ou-2+3x^2-5x^3=0

Passo 8

Da primeira condição vem x=1. A equação cúbica
5x^3-3x^2+2=0

Passo 9

não tem raízes racionais simples, mas há uma única raiz real aproximada em xapprox-0.5825.

Passo 10

Para saber onde f' é positivo ou negativo, observamos o sinal de cada fator: em x< -0.5825 temos -2+3x^2-5x^3)>0 e (1-x)>0, logo f'>0. Em -0.5825 o segundo fator fica negativo e o primeiro positivo, então f'<0. Para x>1 ambos os fatores são negativos, resultando em f'>0.
Isso mostra que f é crescente em (-infty,-0.5825), decrescente em (-0.5825,1) e novamente crescente em (1,infty).

Passo 11

Como f' muda de positivo para negativo em xapprox-0.5825, há um máximo relativo aí; e como muda de negativo para positivo em x=1, há um mínimo relativo em x=1. Calculando os valores:
f(-0.5825)approx2.01,
f(1)=0

Resposta

Máximo relativo em xapprox-0.5825 com f(-0.5825)approx2.01; mínimo relativo em x=1 com f(1)=0. A função é crescente em (-infty,-0.5825)cup(1,infty) e decrescente em (-0.5825,1).

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