Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
f(x)=4 x1+x^3

Passo 1

A questão pede pra gente achar os pontos de inflexão de f(x)=4x1+x^3 e ainda dizer onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo. Isso envolve cálculo de derivadas e uma análise de sinal da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f'(x) pelo quociente: se f(x)=g(x)h(x), então f'(x)=g'(x)h(x)-g(x)h'(x)[h(x)]^2. Aqui g(x)=4x tem g'(x)=4 e h(x)=1+x^3 tem h'(x)=3x^2. Logo,
f'(x)=4(1+x^3)-4xcdot3x^2(1+x^3)^2=4+4x^3-12x^3(1+x^3)^2=4-8x^3(1+x^3)^2=4(1-2x^3)(1+x^3)^2

Passo 3

Agora vamos achar f''(x). Derivando f'(x)=u(x)v(x) onde u(x)=4(1-2x^3) e v(x)=(1+x^3)^2, aplicamos novamente a regra do quociente e simplificamos tudo. O resultado é:
f''(x)=-24x^2(2-x^3)(1+x^3)^3

Passo 4

Para achar possíveis pontos de inflexão, identificamos onde f''(x)=0 ou não existe. O numerador zera em x^2=0implies x=0 e em 2-x^3=0implies x=raiz[3]2. O denominador zera em 1+x^3=0implies x=-1 (que é um assíntota vertical, não ponto de inflexão).

Passo 5

Agora analisamos o sinal de f''(x)= -24x^22-x^3(1+x^3)^3 nos intervalos do domínio (-infty,-1), (-1,0), (0,raiz[3]2) e (raiz[3]2,infty). Testando valores em cada um, obtemos:
  • Em (-infty,-1): f''>0 (côncavo para cima).
  • Em (-1,0) e (0,raiz[3]2): f''<0 (côncavo para baixo).
  • Em (raiz[3]2,infty): f''>0 (côncavo para cima).

Passo 6

Como não há mudança de sinal de f'' em x=0, não há inflexão em 0. Já em x=raiz[3]2 a concavidade muda de baixo para cima, confirmando um ponto de inflexão.

Resposta

O único ponto de inflexão é l(raiz[3]2,tfrac4raiz[3]23r). O gráfico é côncavo para cima em (raiz[3]2,infty) e (-1,raiz[3]2), e côncavo para baixo em .

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