Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
Passo 1
A questão pede pra gente achar os pontos de inflexão de
e ainda dizer onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo. Isso envolve cálculo de derivadas e uma análise de sinal da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
pelo quociente: se
, então
. Aqui
tem
e
tem
. Logo,
Passo 3
Agora vamos achar
. Derivando
onde
e
, aplicamos novamente a regra do quociente e simplificamos tudo. O resultado é:
Passo 4
Para achar possíveis pontos de inflexão, identificamos onde
ou não existe. O numerador zera em
e em
. O denominador zera em
(que é um assíntota vertical, não ponto de inflexão).
Passo 5
Agora analisamos o sinal de
nos intervalos do domínio
,
,
e
. Testando valores em cada um, obtemos:
- Em
: (côncavo para cima). - Em
e : (côncavo para baixo). - Em
: (côncavo para cima).
Passo 6
Como não há mudança de sinal de
em
, não há inflexão em 0. Já em
a concavidade muda de baixo para cima, confirmando um ponto de inflexão.
Resposta
O único ponto de inflexão é
. O gráfico é côncavo para cima em
e
, e côncavo para baixo em
.