Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
Passo 1
Enunciado e dados essenciais: temos a função
definida no intervalo
. O que o enunciado pede: encontrar os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto de
nesse domínio. Dados relevantes a listar: o domínio é
(inclui
, NÃO inclui
); a função é diferenciável em
e contínua em
.
Passo 2
Conceito e cálculo da derivada: para determinar extremos usamos a derivada. Lembre que a derivada
mede a inclinação da reta tangente — se
a função sobe, se
a função desce. Calculamos
Também é útil a segunda derivada para saber curvatura:
Observe que
para todo
, então a função é convexa nesse intervalo.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: pontos críticos são onde
ou onde
não existe. Aqui
existe em todo
, então resolvemos
Verificamos se
pertence ao domínio: sim, pois o intervalo inclui
. Logo
é um candidato a extremo.
Passo 4
Análise de monotonicidade e natureza do ponto crítico: para
temos
, portanto
é estritamente crescente em
. Como
é crescente a partir de
, o ponto em
não pode ser máximo — é o menor valor atingido no intervalo. A segunda derivada positiva confirma que qualquer ponto crítico isolado seria mínimo local; aqui
é, de fato, mínimo.
Passo 5
Avaliar valores nas candidatos e na borda do domínio: calculamos o valor em
Como a função é crescente em
, os valores aumentam quando
se aproxima de
pela esquerda. Porém
não pertence ao domínio, então não podemos avaliar
diretamente; devemos considerar o limite à direita do domínio:
Numericamente,
(usei aproximação de
). Esse valor é o supremo dos valores de
no intervalo, mas não é atingido por nenhum
porque isso exigiria
, que não está no domínio.
Passo 6
Conclusão lógica: como
é crescente em
e contínua em
com
incluído e
excluído, o menor valor absoluto é obtido em
e o maior valor não é atingido no intervalo — existe apenas um supremo não atingido.
Resposta
Mínimo absoluto: em
, com
.
Máximo absoluto: não existe em ;
.
Máximo absoluto: não existe em