Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
f(x)=x-\ln (x), x \in[1,10)

Passo 1

Enunciado e dados essenciais: temos a função \displaystyle f(x)=x-\ln(x) definida no intervalo \displaystyle [1,10). O que o enunciado pede: encontrar os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto de f nesse domínio. Dados relevantes a listar: o domínio é \displaystyle [1,10) (inclui \displaystyle x=1, NÃO inclui \displaystyle x=10); a função é diferenciável em (1,10) e contínua em [1,10).

Passo 2

Conceito e cálculo da derivada: para determinar extremos usamos a derivada. Lembre que a derivada \displaystyle f'(x) mede a inclinação da reta tangente — se \displaystyle f'(x)>0 a função sobe, se \displaystyle f'(x)<0 a função desce. Calculamos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-\ln(x)\bigr)=1-\frac{1}{x}.
Também é útil a segunda derivada para saber curvatura:
f''(x)=\frac{d}{dx}\left(1-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}.
Observe que \displaystyle f''(x)=\frac{1}{x^{2}}>0 para todo \displaystyle x\in(1,10), então a função é convexa nesse intervalo.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: pontos críticos são onde \displaystyle f'(x)=0 ou onde \displaystyle f' não existe. Aqui \displaystyle f'(x) existe em todo (1,10), então resolvemos
1-\frac{1}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-1}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Verificamos se \displaystyle x=1 pertence ao domínio: sim, pois o intervalo inclui \displaystyle 1. Logo \displaystyle x=1 é um candidato a extremo.

Passo 4

Análise de monotonicidade e natureza do ponto crítico: para \displaystyle x>1 temos \displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x}>0, portanto \displaystyle f é estritamente crescente em (1,10). Como \displaystyle f é crescente a partir de \displaystyle x=1, o ponto em \displaystyle x=1 não pode ser máximo — é o menor valor atingido no intervalo. A segunda derivada positiva confirma que qualquer ponto crítico isolado seria mínimo local; aqui \displaystyle x=1 é, de fato, mínimo.

Passo 5

Avaliar valores nas candidatos e na borda do domínio: calculamos o valor em \displaystyle x=1
f(1)=1-\ln(1)=1-0=1.
Como a função é crescente em (1,10), os valores aumentam quando \displaystyle x se aproxima de \displaystyle 10 pela esquerda. Porém \displaystyle x=10 não pertence ao domínio, então não podemos avaliar f(10) diretamente; devemos considerar o limite à direita do domínio:
\lim_{x\to 10^-} f(x)=\lim_{x\to 10^-}\bigl(x-\ln(x)\bigr)=10-\ln(10).
Numericamente, \displaystyle 10-\ln(10)\approx 7,6974 (usei aproximação de \ln(10)). Esse valor é o supremo dos valores de f no intervalo, mas não é atingido por nenhum x\in[1,10) porque isso exigiria x=10, que não está no domínio.

Passo 6

Conclusão lógica: como \displaystyle f é crescente em (1,10) e contínua em [1,10) com \displaystyle x=1 incluído e \displaystyle x=10 excluído, o menor valor absoluto é obtido em \displaystyle x=1 e o maior valor não é atingido no intervalo — existe apenas um supremo não atingido.

Resposta

Mínimo absoluto: em \displaystyle x=1, com \displaystyle f(1)=1.
Máximo absoluto: não existe em [1,10); \displaystyle \sup f=10-\ln(10)\approx 7,6974.

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