Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o domínio e pede os extremos absolutos. Especificamente:
- Função:
. - Domínio:
. - Pergunta: encontrar os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto (ou seja, os pontos do intervalo onde
atinge o maior e o menor valor possíveis).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de
e o intervalo fechado
.
Passo 2
Plano geral (agora posso dizer como vou proceder): como
é a composição e produto de funções elementares, ela é contínua em
; pelo Teorema do Valor Extremo,
atinge máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Para achar onde ocorrem, vou:
- Calcular a derivada
. - Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo (onde
ou não existe). - Avaliar
nos pontos críticos e nos dois extremos do intervalo ( e ). - Comparar os valores para decidir máximos e mínimos absolutos.
Antes de derivar, lembro duas regras importantes que vou usar:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia (para potências): se
, então (derivando o expoente e multiplicando pela derivada do interior).
Passo 3
Calcular a derivada de
usando a regra do produto.
Aplicando a regra do produto com
e
:
Portanto
Passo 4
Simplificar a expressão de
. Colocando sobre um denominador comum
:
Calcular o numerador:
Logo a derivada fica
Observação sobre domínio da derivada: o denominador
é positivo para
e se anula em
. Assim
está bem definida em
e não definida pelo mesmo tipo de expressão em
— mas
é um extremo do intervalo e será verificado separadamente.
Passo 5
Encontrar pontos críticos no interior
:
- Zerar a derivada:
quando o numerador é zero (pois denominador não nulo para ):
- Pontos onde
não existe no intervalo interior: a única preocupação era , mas é extremo do intervalo (não é interior). Assim o único ponto crítico interior é .
Passo 6
Avaliar
nos candidatos: pontos críticos e extremos do intervalo. Temos três pontos a avaliar:
,
e
.
Calcular
:
Calcular
:
Racionalizando (opcional):
Valor aproximado (só para intuição):
.
Calcular
:
Passo 7
Comparar os valores:
Como
e os outros dois são
, concluímos que
atinge o máximo absoluto em
e o mínimo absoluto vale
e ocorre em
e
.
Para reforçar a razão: pelo sinal da derivada, o denominador em
é positivo para
e o numerador
é positivo para
e negativo para
; logo
cresce até
e decresce depois até
, confirmando que
é máximo local que, comparado com os extremos, é máximo absoluto.
Resposta
Máximo absoluto em
com valor
.
Mínimos absolutos em e
com valor
.
Mínimos absolutos em