Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
(c) f(x)=x \sqrt{1-x}, x \in[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função f e o domínio e pede os extremos absolutos. Especificamente:
  • Função: f(x)=x\sqrt{1-x}.
  • Domínio: x\in[0,1].
  • Pergunta: encontrar os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto (ou seja, os pontos do intervalo onde f atinge o maior e o menor valor possíveis).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de f e o intervalo fechado [0,1].

Passo 2

Plano geral (agora posso dizer como vou proceder): como f é a composição e produto de funções elementares, ela é contínua em [0,1]; pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Para achar onde ocorrem, vou:
  1. Calcular a derivada f'(x).
  2. Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo (onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe).
  3. Avaliar f nos pontos críticos e nos dois extremos do intervalo ( x=0 e x=1).
  4. Comparar os valores para decidir máximos e mínimos absolutos.
Antes de derivar, lembro duas regras importantes que vou usar:
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia (para potências): se h(x)=(1-x)^{1/2}, então h'(x)=\tfrac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\cdot(-1) (derivando o expoente e multiplicando pela derivada do interior).

Passo 3

Calcular a derivada de f(x)=x(1-x)^{1/2} usando a regra do produto.
Aplicando a regra do produto com u(x)=x e v(x)=(1-x)^{1/2}:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}.
Portanto
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(1)(1-x)^{1/2}+x\left(-\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\right).

Passo 4

Simplificar a expressão de f'(x). Colocando sobre um denominador comum 2(1-x)^{1/2}:
f'(x)= (1-x)^{1/2} - \frac{x}{2(1-x)^{1/2}} = \frac{2(1-x)-x}{2(1-x)^{1/2}}.
Calcular o numerador:
2(1-x)-x=2-2x-x=2-3x.
Logo a derivada fica
f'(x)=\frac{2-3x}{2(1-x)^{1/2}}.
Observação sobre domínio da derivada: o denominador 2(1-x)^{1/2} é positivo para x\in[0,1) e se anula em x=1. Assim f'(x) está bem definida em [0,1) e não definida pelo mesmo tipo de expressão em x=1 — mas x=1 é um extremo do intervalo e será verificado separadamente.

Passo 5

Encontrar pontos críticos no interior 0<x<1:
  • Zerar a derivada: f'(x)=0 quando o numerador é zero (pois denominador não nulo para x\in[0,1)):
2-3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{3}.
  • Pontos onde f' não existe no intervalo interior: a única preocupação era x=1, mas x=1 é extremo do intervalo (não é interior). Assim o único ponto crítico interior é x=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Avaliar f nos candidatos: pontos críticos e extremos do intervalo. Temos três pontos a avaliar: x=0, x=\tfrac{2}{3} e x=1.
Calcular f(0):
f(0)=0\cdot\sqrt{1-0}=0.
Calcular f\!\left(\tfrac{2}{3}\right):
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}.
Racionalizando (opcional):
\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.
Valor aproximado (só para intuição): \dfrac{2\sqrt{3}}{9}\approx 0{,}3849.
Calcular f(1):
f(1)=1\cdot\sqrt{1-1}=1\cdot 0=0.

Passo 7

Comparar os valores:
f(0)=0,\qquad f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}\approx 0{,}3849,\qquad f(1)=0.
Como f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)>0 e os outros dois são 0, concluímos que f atinge o máximo absoluto em x=\tfrac{2}{3} e o mínimo absoluto vale 0 e ocorre em x=0 e x=1.
Para reforçar a razão: pelo sinal da derivada, o denominador em f'(x) é positivo para x\in[0,1) e o numerador 2-3x é positivo para x<\tfrac{2}{3} e negativo para x>\tfrac{2}{3}; logo f cresce até x=\tfrac{2}{3} e decresce depois até x=1, confirmando que x=\tfrac{2}{3} é máximo local que, comparado com os extremos, é máximo absoluto.

Resposta

Máximo absoluto em x=\dfrac{2}{3} com valor f\!\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.
Mínimos absolutos em x=0 e x=1 com valor f(0)=f(1)=0.

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