Encontre os pontos de máximo e mínimo da função f:[-2,2] R definida por f(x)=x^3-2 x^2-x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função pode ter um máximo ou mínimo.

Passo 3

Calculando a derivada de f'(x) = ddx(x^3) - ddx(2x^2) - ddx(x) + ddx(1) = 3x^2 - 4x -1 :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação 3x^2 - 4x -1 = 0 :
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = 4 pm raiz16 + 126 = 4 pm raiz286 = 4 pm 2raiz76 = 2 pm raiz73
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
x = 2 + raiz73 e x = 2 - raiz73
Então, os pontos críticos são:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função f(2 + raiz73) e f(2 - raiz73) nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo f(-2) e f(2) para determinar os valores máximos e mínimos.
Calculando nos pontos críticos:
E também nas extremidades:

Passo 6

Vamos calcular cada um desses valores:
f(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 - (-2) + 1 = -8 - 8 + 2 + 1 = -13
f(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 2 + 1 = 8 - 8 - 2 + 1 = -1
Para os pontos críticos, os cálculos são mais complexos, mas após resolver:
f(2 + raiz73) approx valor máximo á
f(2 - raiz73) approx valor mínimo í

Resposta

No intervalo , a função atinge:
  • Um máximo aproximado em com valor .
  • Um mínimo em com valor .

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