1.(0,5 pontos) Calcule, pela definiço, a Transformada de Laplace da funclo f(t)=2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular, pela definição, a Transformada de Laplace da função . Isso está relacionado ao estudo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e integrar a função dada multiplicada por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
L2t = integral0^infty e^-s t cdot 2t , dt
Nesse caso, nossa função é . Então, substituindo na definição, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral. Podemos tirar o 2 da integral para simplificar:
L2t = 2 integral0^infty t e^-s t , dt
Essa é uma integral conhecida que podemos resolver usando integração por partes. Vamos definir:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-s t dt Rightarrow v = -1s e^-s t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral t e^-s t , dt = -ts e^-s t + 1s integral e^-s t , dt :
1s integral e^-s t , dt = -1s^2 e^-s t
A segunda integral fica:
integral t e^-s t , dt = -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t + C
Então, juntando tudo:
[ -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t ]0^infty
Agora, aplicamos os limites de 0 a - 0s e^0 - 1s^2 e^0 = -1s^2 :
0 - ( -1s^2 ) = 1s^2
Quando tende a , tende a 0. E quando :
Portanto, a integral definida é:

Resposta

Então, a Transformada de Laplace da função L2t = 2s^2 é:

Exercícios relacionados