1.(0,5 pontos) Calcule, pela definiço, a Transformada de Laplace da funclo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular, pela definição, a Transformada de Laplace da função
. Isso está relacionado ao estudo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e integrar a função dada multiplicada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Nesse caso, nossa função é
. Então, substituindo na definição, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral. Podemos tirar o 2 da integral para simplificar:
Essa é uma integral conhecida que podemos resolver usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
A segunda integral fica:
Então, juntando tudo:
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Quando
tende a
,
tende a 0. E quando
:
Portanto, a integral definida é:
Resposta
Então, a Transformada de Laplace da função
é: