Problema 5. Seja x in R tal que x+1x=5. Calcule x^2+1x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de álgebra juntos! A gente tem que encontrar o valor de $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ sabendo que $ x + \frac{1}{x} = 5 $. Para chegar lá, vamos precisar usar algumas propriedades de equações algébricas e manipular as expressões para encontrar o que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem uma expressão do tipo $ a + b $, para encontrar $ a^{2} + b^{2} $, a gente pode usar a identidade:
a + b
Isso significa que:
a^2 + b^2

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, onde $ a = x $ e $ b = \frac{1}{x} $, temos:
a = x
Simplificando o meio termo:
b = 1x
Então:
(x + 1x)^2 = x^2 + 2 cdot x cdot 1x + 1x^2

Passo 4

Agora, sabemos que $ x + \frac{1}{x} = 5 $, então podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
x + 1x = 5
(x + 1x)^2 = 5^2

Passo 5

Para encontrar $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $, basta isolar essa expressão:
x^2 + 1x^2
x^2 + 1x^2 = 25 - 2

Resposta

O valor de $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ é 23.

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