Problema 5. Seja
tal que
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de álgebra juntos! A gente tem que encontrar o valor de $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ sabendo que $ x + \frac{1}{x} = 5 $. Para chegar lá, vamos precisar usar algumas propriedades de equações algébricas e manipular as expressões para encontrar o que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem uma expressão do tipo $ a + b $, para encontrar $ a^{2} + b^{2} $, a gente pode usar a identidade:
Isso significa que:
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, onde $ a = x $ e $ b = \frac{1}{x} $, temos:
Simplificando o meio termo:
Então:
Passo 4
Agora, sabemos que $ x + \frac{1}{x} = 5 $, então podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 5
Para encontrar $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $, basta isolar essa expressão:
Resposta
O valor de $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ é 23.