Encontre os pontos de máximo e de mínimo de
em
, sem parametrizar
, quando
b.
e
;
b.
Passo 1
Resumindo, queremos otimizar f(x,y,z)=x−z sobre C={ (x,y,z)∈ℝ³: x²+y²=z e z=2y }. Temos duas restrições, então vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Definimos g₁(x,y,z)=x²+y²−z e g₂(x,y,z)=z−2y. Calculamos os gradientes: ∇f=(1,0,−1), ∇g₁=(2x,2y,−1), ∇g₂=(0,−2,1). A condição de Lagrange é ∇f=λ∇g₁+μ∇g₂.
Definimos g₁(x,y,z)=x²+y²−z e g₂(x,y,z)=z−2y. Calculamos os gradientes: ∇f=(1,0,−1), ∇g₁=(2x,2y,−1), ∇g₂=(0,−2,1). A condição de Lagrange é ∇f=λ∇g₁+μ∇g₂.
Passo 2
Escrevemos o sistema de equações:
e as restrições
Passo 3
Da terceira equação obtemos μ=λ−1. Substituímos na segunda:
Passo 4
Substituímos x e z em x²+y²−z=0. Chamando t=y−1:
Passo 5
Para t=2/√5: y=1+2/√5, x=-(2/√5)/2=-1/√5, z=2y=2+4/√5. Para t=-2/√5: y=1-2/√5, x=1/√5, z=2-4/√5.
Passo 6
Calculamos f=x−z em cada ponto:
- Em (−1/√5,1+2/√5,2+4/√5): f=−1/√5−(2+4/√5)=−2−√5.
- Em (1/√5,1−2/√5,2−4/√5): f=1/√5−(2−4/√5)=−2+√5.
Logo o valor máximo é −2+√5 e o mínimo é −2−√5.
Resposta
Ponto de máximo:
com valor
. Ponto de mínimo:
com valor
.