Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C, sem parametrizar C, quando
b. f(x, y, z)=x-z e C=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2=z e z=2 y;

Passo 1

Resumindo, queremos otimizar f(x,y,z)=x−z sobre C={ (x,y,z)∈ℝ³: x²+y²=z e z=2y }. Temos duas restrições, então vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Definimos g₁(x,y,z)=x²+y²−z e g₂(x,y,z)=z−2y. Calculamos os gradientes: ∇f=(1,0,−1), ∇g₁=(2x,2y,−1), ∇g₂=(0,−2,1). A condição de Lagrange é ∇f=λ∇g₁+μ∇g₂.

Passo 2

Escrevemos o sistema de equações:
1 = 2λx, 0 = 2λy - 2μ, -1 = -λ + μ,
e as restrições
x² + y² - z = 0, ²²
z - 2y = 0

Passo 3

Da terceira equação obtemos μ=λ−1. Substituímos na segunda:
0 = 2λy - 2(λ-1) implies λ(y-1)=-1 implies λ=-1y-1 Da primeira tiramos x=1/(2λ)=-(y-1)/2. E pela segunda restrição z=2y.

Passo 4

Substituímos x e z em x²+y²−z=0. Chamando t=y−1:
l(-t2r)^2 + (1+t)^2 - 2(1+t)=0 implies t^24 + t^2 =1 implies 54t^2=1 implies t=pm2raiz5 Isso gera dois candidatos.

Passo 5

Para t=2/√5: y=1+2/√5, x=-(2/√5)/2=-1/√5, z=2y=2+4/√5. Para t=-2/√5: y=1-2/√5, x=1/√5, z=2-4/√5.

Passo 6

Calculamos f=x−z em cada ponto:
  • Em (−1/√5,1+2/√5,2+4/√5): f=−1/√5−(2+4/√5)=−2−√5.
  • Em (1/√5,1−2/√5,2−4/√5): f=1/√5−(2−4/√5)=−2+√5.
    Logo o valor máximo é −2+√5 e o mínimo é −2−√5.

Resposta

Ponto de máximo: l(tfrac1raiz5,,1-tfrac2raiz5,,2-tfrac4raiz5r) com valor f=-2+raiz5. Ponto de mínimo: l(-tfrac1raiz5,,1+tfrac2raiz5,,2+tfrac4raiz5r) com valor f=-2-raiz5.

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