(b) Mostre que a seguinte equação tem um fator integrante do tipo I(x) encontre a equação exata associada (não é necessario resolver ela):
(1+2 y^2 x+2 x) d x+y x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = (1 + 2y^2 x + 2x),dx + yx^2,dy = 0
e pede para mostrar que existe um fator integrante do tipo I(x) e obter a equação exata resultante (sem resolver). Vamos precisar de testes de exatidão e da fórmula do fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=1 + 2x(y^2+1),
N(x,y)=yx^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4xy,
partial Npartial x=2yx
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata de início.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu(x), usamos a condição
partial M/partial y - partial N/partial xN = f(x)
Substituindo:
4xy - 2xyyx^2 = 2xyyx^2 = 2x
Logo f(x)=2/x e
mu(x)=expl(integral 2x,dxr)=exp(2ln|x|)=x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x^2. Obtemos
M^*(x,y)=x^2(1+2x+2x y^2)=x^2+2x^3+2x^3y^2,
N^*(x,y)=x^2cdot yx^2=x^4y
Verificamos que agora
partial M^*partial y=4x^3y,
partial N^*partial x=4x^3y,
são iguais, ou seja, a equação é exata.

Passo 5

A equação exata associada é
(x^2 + 2x^3 + 2x^3y^2),dx + x^4y,dy = 0

Resposta

O fator integrante é I(x)=x^2. A equação exata resultante é (x2+2x3+2x3y2),dx + x^4y,dy = 0.

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