(b) Mostre que a seguinte equação tem um fator integrante do tipo
encontre a equação exata associada (não é necessario resolver ela):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que existe um fator integrante do tipo
e obter a equação exata resultante (sem resolver). Vamos precisar de testes de exatidão e da fórmula do fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata de início.
Passo 3
Para achar um fator integrante
, usamos a condição
Substituindo:
Logo
e
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
. Obtemos
Verificamos que agora
são iguais, ou seja, a equação é exata.
Passo 5
A equação exata associada é
Resposta
O fator integrante é I(x)=x^2. A equação exata resultante é (x2+2x3+2x3y2),dx + x^4y,dy = 0.