(1,5 pontos) Se
,
encontre
o valor de
a.
a) 13
b) 15
c) 16
d) 10
e) 12 .
encontre
o valor de
a.
a) 13
b) 15
c) 16
d) 10
e) 12 .
Passo 1
Aqui temos um limite que envolve funções trigonométricas e logaritmos. O objetivo é encontrar o valor de $ a $ que satisfaz a equação dada. Para resolver, vamos precisar usar expansões em série de Taylor para
e
quando $ x $ se aproxima de 0, além das propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
em série de Taylor em torno de 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Usamos a expansão de Taylor para
, onde $ y = \cos x - 1 $:
Substituindo $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão original:
Passo 5
Então, o limite fica:
Comparando com
, temos:
Resposta
a) 12