(1,5 pontos) Se lim x 0 x^2+2 ln (cos x)2 x^4=
-1a,
encontre
o valor de
a.
a) 13
b) 15
c) 16
d) 10
e) 12 .

Passo 1

Aqui temos um limite que envolve funções trigonométricas e logaritmos. O objetivo é encontrar o valor de $ a $ que satisfaz a equação dada. Para resolver, vamos precisar usar expansões em série de Taylor para a e cos x quando $ x $ se aproxima de 0, além das propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cos x em série de Taylor em torno de 0:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots

Passo 3

Agora, vamos calcular ln(cos x). Usamos a expansão de Taylor para ln(1 + y), onde $ y = \cos x - 1 $:
y = cos x - 1
Substituindo $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $, temos:
ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - dots

Passo 4

Agora, substituímos ln(cos x) na expressão original:
x^2 + 2 ln(cos x) approx x^2 + 2 ( -x^22 - x^412 ) = x^2 - x^2 - x^46 = -x^46

Passo 5

Então, o limite fica:
limx to 0 -x^46 2 x^4 = -16 2 = -112
Comparando com -1a, temos:
-112 = -1a implies a = 12

Resposta

a) 12

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