Calcule o limite abaixo.
lim (x, y) (0,0) x^2 y^6x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x^2 y^6x^2+y^2. Aqui, a gente está trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam bastante na hora de lidar com limites que se aproximam de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar x e y, a gente usa r e theta, onde:
  • x = r cos(theta)
  • y = r sin(theta)
Aqui, r é a distância até a origem (0,0) e theta é o ângulo com o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na nossa expressão original usando essas coordenadas:
x^2 y^6x^2+y^2 = (r cos(theta))^2 (r sin(theta))^6(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2

Passo 4

Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, expande os termos no numerador e no denominador:
Numerador:
(r cos(theta))^2 = r^2 cos^2(theta)
(r sin(theta))^6 = r^6 sin^6(theta)
Então, o numerador fica:
r^2 cos^2(theta) cdot r^6 sin^6(theta) = r^8 cos^2(theta) sin^6(theta)
Denominador:
(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta))
Como cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1, o denominador simplifica para r^2.

Passo 5

Agora, nossa expressão toda fica:
r^8 cos^2(theta) sin^6(theta)r^2 = r^6 cos^2(theta) sin^6(theta)

Passo 6

Observe que r^6 está multiplicando cos^2(theta) sin^6(theta). Sabemos que cos^2(theta) e sin^6(theta) são funções que variam entre 0 e 1, então eles não vão afetar o limite para r 0.

Passo 7

Portanto, quando r tende a 0, r^6 também tende a 0. Isso significa que toda a expressão r^6 cos^2(theta) sin^6(theta) tende a 0.

Resposta

O limite é 0.

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