(a) Calcule a derivada da função: h(x)=9 x^{10}-8 x^{3}+7 x^{3}-37 x^{2}+505.
(b) Calcule a derivada da função: f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.
(c) Para a função f do item anterior calcule f^{\prime \prime}.

Passo 1

O enunciado traz três funções para derivarmos:
  • h(x)=9x^{10}-8x^{3}+7x^{3}-37x^{2}+505
  • f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}
    Pelos conteúdos, vamos usar a regra da soma, a regra da potência para derivar h, e a regra do quociente para derivar f. Para f'', usaremos produto e cadeia.

Passo 2

Para h(x) primeiro simplificamos os termos semelhantes:
h(x)=9x^{10}-x^{3}-37x^{2}+505.
Agora aplicamos o power rule termo a termo e a derivada de constante zero:
h'(x)=9\cdot10\,x^{9}-1\cdot3\,x^{2}-37\cdot2\,x+0 =90x^{9}-3x^{2}-74x.

Passo 3

Para f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1} usamos a regra do quociente \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^2}. Aqui u=x, u'=1, v=x^2-1, v'=2x. Então
f'(x) =\frac{1\cdot(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^{2}} =\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^{2}} =\frac{-\bigl(x^2+1\bigr)}{(x^2-1)^{2}}.

Passo 4

Para f''(x) escrevemos
f'(x)=-\bigl(x^2+1\bigr)\,(x^2-1)^{-2}
e derivamos usando produto e cadeia:
f''(x)=-\Bigl[2x\,(x^2-1)^{-2}+(x^2+1)\cdot(-2)(x^2-1)^{-3}\cdot2x\Bigr].
Colocando sobre denominador comum (x^2-1)^3 e somando termos:
f''(x) =\frac{-2x(x^2-1)+4x(x^2+1)}{(x^2-1)^3} =\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.

Resposta

(a) h'(x)=90x^{9}-3x^{2}-74x
(b) f'(x)=-\dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}}
(c) f''(x)=\dfrac{2x(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}

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