Sobre funções contínuas;
Sabendo que g é uma função derivável em x=a, apresente argumentos, baseados na definição de continuidade, para garantir que a função g^{\prime} t^{\prime} continua em \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, usando a definição de continuidade, que uma função g que é derivável em x=a satisfaz \lim_{x\to a}g(x)=g(a). Em outras palavras, derivabilidade em a implica continuidade em a.

Passo 2

Pela definição de derivada em x=a temos
\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=g'(a).
Isso significa que, ao aproximar x de a, o quociente acima fica arbitrariamente próximo de g'(a).

Passo 3

Reescrevemos
g(x)-g(a) =\underbrace{g'(a)\,(x-a)}_{\text{parte linear}}+\underbrace{\bigl[g(x)-g(a)-g'(a)(x-a)\bigr]}_{R(x)}.
Pela definição de limite da derivada, \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{R(x)}{x-a}=0. Logo, para x suficientemente perto de a, vale
\bigl|R(x)\bigr| =\bigl|x-a\bigr|\;\Bigl|\tfrac{R(x)}{x-a}\Bigr| \le \bigl|x-a\bigr|\times 1 =\bigl|x-a\bigr|
(se escolhermos o ponto onde \bigl|\tfrac{R(x)}{x-a}\bigr|\le1).

Passo 4

Queremos \lvert g(x)-g(a)\rvert<\varepsilon. Usando a decomposição do Passo 3, para x perto de a:
\lvert g(x)-g(a)\rvert \le \bigl|g'(a)\bigr|\;\lvert x-a\rvert + \lvert R(x)\rvert \le \bigl|g'(a)\bigr|\;\lvert x-a\rvert + \lvert x-a\rvert =(\lvert g'(a)\rvert+1)\,\lvert x-a\rvert.
Basta então escolher
\delta=\min\bigl\{1,\;\tfrac{\varepsilon}{\lvert g'(a)\rvert+1}\bigr\},
pois se \lvert x-a\rvert<\delta então
\lvert g(x)-g(a)\rvert \le(\lvert g'(a)\rvert+1)\,\delta \le(\lvert g'(a)\rvert+1)\,\frac{\varepsilon}{\lvert g'(a)\rvert+1} =\varepsilon.

Resposta

Demonstra-se que, sempre que g é derivável em a, então \lim_{x\to a}g(x)=g(a), ou seja, g é contínua em x=a.

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