Encontre os pontos de máximos e os de mínimos absolutos para as funções das nos domínios dados.
f(x, y)=x^2+x y+y^2-6 y, D(f):c0 <= x <= 5 -3 <= y <= 0

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo absolutos de
f(x,y)=x^2+xy+y^2-6y
no domínio fechado e limitado
D=(x,y)mid 0<= x<=5,;-3<= y<=0
Como f é contínua e D é compacto, os extremos globais ocorrem ou em pontos críticos internos (onde nabla f=0) ou nas fronteiras de D.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e achamos os pontos críticos internos:
partial fpartial x=2x+y, partial fpartial y=x+2y-6
Igualando a zero,
2x+y=0, x+2y-6=0
Dessas equações vem o único candidato ,(x,y)=(-2,4), que não pertence a D. Logo, não há pontos críticos internos válidos.

Passo 3

Analisamos a aresta x=0, com -3<= y<=0.
f(0,y)=y^2-6y
Como tfracddy(y^2-6y)=2y-6=0 y=3 (fora de [-3,0]), os extremos nesta aresta estão nos extremos de y:
f(0,-3)=9+18=27, f(0,0)=0

Passo 4

Analisamos a aresta x=5, com -3<= y<=0.
f(5,y)=25+5y+y^2-6y=y^2-y+25
A derivada em y é 2y-1, zero em y=tfrac12 (fora de [-3,0]). Então só extremos em y=-3,0:
f(5,-3)=9+3+25=37, f(5,0)=25

Passo 5

Analisamos a aresta y=-3, com 0<= x<=5.
f(x,-3)=x^2-3x+9+18=x^2-3x+27
A derivada em x é 2x-3=0 em x=tfrac32, que está em [0,5]. Avaliando:
fl(tfrac32,-3r)=tfrac94-tfrac92+27=24,75
Nos extremos x=0,5 temos
f(0,-3)=27, f(5,-3)=37

Passo 6

Analisamos a aresta y=0, com 0<= x<=5.
f(x,0)=x^2
A derivada é 2x, zero em x=0. Então
f(0,0)=0, f(5,0)=25

Passo 7

Reunindo as avaliações relevantes:
f(0,0)&=0, & fl(tfrac32,-3r)&=24,75, f(5,0)&=25, & f(0,-3)&=27, f(5,-3)&=37
A menor dessas é 0 em (0,0), e a maior é 37 em (5,-3).

Resposta

Mínimo absoluto: f(0,0)=0.
Máximo absoluto: f(5,-3)=37.

Exercícios relacionados