Encontre os pontos de máximos e os de mínimos absolutos para as funções das nos domínios dados.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo absolutos de
no domínio fechado e limitado
Como
f é contínua e
D é compacto, os extremos globais ocorrem ou em pontos críticos internos (onde
nabla f=0 ) ou nas fronteiras de
D .
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e achamos os pontos críticos internos:
Igualando a zero,
Dessas equações vem o único candidato
,(x,y)=(-2,4) , que não pertence a
D . Logo, não há pontos críticos internos válidos.
Passo 3
Analisamos a aresta
x=0 , com
-3<= y<=0 .
Como
tfracddy(y^2-6y)=2y-6=0 dá
y=3 (fora de
[-3,0] ), os extremos nesta aresta estão nos extremos de
y :
Passo 4
Analisamos a aresta
x=5 , com
-3<= y<=0 .
A derivada em
y é
2y-1 , zero em
y=tfrac12 (fora de
[-3,0] ). Então só extremos em
y=-3,0 :
Passo 5
Analisamos a aresta
y=-3 , com
0<= x<=5 .
A derivada em
x é
2x-3=0 em
x=tfrac32 , que está em
[0,5] . Avaliando:
Nos extremos
x=0,5 temos
Passo 6
Analisamos a aresta
y=0 , com
0<= x<=5 .
A derivada é
2x , zero em
x=0 . Então
Passo 7
Reunindo as avaliações relevantes:
A menor dessas é
0 em
(0,0) , e a maior é
37 em
(5,-3) .
Resposta
Mínimo absoluto:
f(0,0)=0 .
Máximo absoluto:f(5,-3)=37 .
Máximo absoluto: