8 Os registros mostram que t horas após a meia-noite, a temperatura em um certo aeroporto foi T(t)=13 t^2+4 t+10 ^0 C. Qual foi a temperatura média no aeroporto entre 9 h e meio-dia?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura como função do tempo
T(t)=13t^2+4t+10
em que t é o número de horas após a meia-noite, e pede a temperatura média entre 9 h e 12 h.
O conteúdo que precisamos usar é o valor médio de uma função contínua f em [a,b], que é
f=1b-aintegrala^bf(x),dx

Passo 2

Primeiro encontramos uma primitiva de T(t). Calculamos
integral!l(tfrac13t^2+4t+10r),dt =integraltfrac13t^2,dt+integral4t,dt+integral10,dt
Cada parte dá
integraltfrac13t^2,dt=t^39, integral4t,dt=2t^2, integral10,dt=10t,
logo uma primitiva é
F(t)=t^39+2t^2+10t

Passo 3

Agora avaliamos o integral definido de 9 a 12 e dividimos pelo comprimento do intervalo, que é 12-9=3:
integral9^12T(t),dt =F(12)-F(9) =l(tfrac12^39+2cdot12^2+10cdot12r) -l(tfrac9^39+2cdot9^2+10cdot9r) =600-333=267
Então a média é
T =13cdot267=89

Resposta

A temperatura média entre 9 h e 12 h foi de ,89,^circC

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