Resolva as equações:
x^5-2 x^4+3 x^3-7 x^2+8 x-3=0.

Passo 1

Temos a equação polinomial
x^5-2x^4+3x^3-7x^2+8x-3=0
O conteúdo aqui é resolução de raízes de polinômios. Vamos usar o Teorema do Resto (ou Teorema do Fator) junto com a Regra de Racionalidade de Raízes e divisão sintética para fatorar passo a passo.

Passo 2

Pelas possibilidades do Teorema de Racionalidade, as raízes racionais candidatas são divisores de -3, isto é pm1,pm3. Testando x=1:
1^5-2cdot1^4+3cdot1^3-7cdot1^2+8cdot1-3 =1-2+3-7+8-3=0
Logo x=1 é raiz e (x-1) é fator.

Passo 3

Fazendo divisão sintética de
1,;-2,;3,;-7,;8,;-3
por x=1 obtemos os coeficientes do polinômio de grau 4:
1,;-1,;2,;-5,;3
Assim
x^5-2x^4+cdots-3=(x-1)l(x^4-x^3+2x^2-5x+3r)

Passo 4

Testamos novamente x=1 em x^4-x^3+2x^2-5x+3:
1-1+2-5+3=0,
logo x=1 é raiz duplamente repetida, e há mais um fator (x-1).

Passo 5

Dividindo sinteticamente 1,;-1,;2,;-5,;3 por x=1 obtemos
1,;0,;2,;-3
que corresponde ao polinômio cúbico
x^3+0x^2+2x-3=x^3+2x-3
Então
x^5-2x^4+cdots-3=(x-1)^2l(x^3+2x-3r)

Passo 6

No polinômio x^3+2x-3, testamos x=1:
1+2-3=0,
logo x=1 é raiz mais uma vez. Temos agora fator (x-1) pela terceira vez.

Passo 7

Dividindo sinteticamente 1,;0,;2,;-3 por x=1 vem
1,;1,;3
que dá o quadrático
x^2+x+3
Portanto
x^5-2x^4+cdots-3=(x-1)^3(x^2+x+3)

Passo 8

Resolvendo o quadrático ;x^2+x+3=0 pela fórmula de Bhaskara:
x=-1pmraiz1-4cdot1cdot32 =-1pmraiz-112 =-1pm iraiz112

Resposta

As soluções da equação são
x=1(mu<iplicidade 3),
x=-1+iraiz112,
x=-1-iraiz112

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