Resolva as equações:
4 x^3-20 x^2-33 x-18=0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes da equação cúbica
4x^3-20x^2-33x-18=0
Vamos usar primeiro o Teorema das Raízes Racionais para testar candidatos simples e, não encontrando, proceder à fórmula de Cardano, que exige colocar a equação na forma de cúbica “deprimida” via substituição

Passo 2

Aplicamos o Teorema das Raízes Racionais: quaisquer raízes racionais devem ser da forma
pmdc, dmid18,;cmid4,
isto é
pm1,pm2,pm3,pm6,pm9,pm18 ou esses numeradores divididos por 2 ou 4. Testando todos, obtemos valores do polinômio diferentes de zero, logo não há raiz racional.

Passo 3

Para usar a fórmula de Cardano fazemos a substituição
x = y + b3a = y + -(-20)3cdot4 = y + 53,
de modo a eliminar o termo em y^2. Isso leva a um cúbico de forma
y^3 + p,y + q = 0
com
p = ca - b^23a^2 = -19912, q = 2b^327a^3 - bc3a^2 + da = -2971108
Calculamos o discriminante
De<a = l(tfracq2r)^2 + l(tfracp3r)^3 approx 20,29 > 0,
o que indica uma raiz real e duas complexas conjugadas.

Passo 4

Pela fórmula de Cardano, a raiz real y1 é
y1 = raiz[3]-q2 + raizDe<a + raiz[3]-q2 - raizDe<a
Numericamente,
-q2approx 13,7547, raizDe<aapprox4,5054,
u=raiz[3]13,7547+4,5054approx2,631, v=raiz[3]13,7547-4,5054approx2,100,
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y1=u+vapprox4,731, x1=y1+tfrac53approx6,3967
As duas outras raízes vêm de
y2,3=-y12pm i,raiz32(u-v) approx -2,3659pm0,2299,i,
e portanto
x2,3=y2,3+tfrac53approx -0,6992pm0,4599,i

Resposta

x1approx 6,3967
x2approx -0,6992 + 0,4599,i
x3approx -0,6992 - 0,4599,i

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