Resolva as questões a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)-5 x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)-5x}{x^{3}}.
Esse limite é do tipo 0/0, então vamos usar a expansão de Taylor de \sin t em torno de t=0.

Passo 2

A expansão de Taylor de \sin t até a ordem t^{3} é
\sin t = t - \frac{t^{3}}{6} + o(t^{3}).
Substituindo t=5x obtemos
\sin(5x) = 5x - \frac{(5x)^{3}}{6} + o(x^{3}) = 5x - \frac{125\,x^{3}}{6} + o(x^{3}).
Logo o numerador fica
\sin(5x)-5x = -\frac{125\,x^{3}}{6} + o(x^{3}).

Passo 3

Dividindo por x^{3} temos
\frac{\sin(5x)-5x}{x^{3}} = -\frac{125}{6} + o(1).
Quando x\to0, o termo o(1) tende a zero, portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)-5x}{x^{3}} = -\frac{125}{6}.

Resposta

-\dfrac{125}{6}

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