Um tanque cilíndrico com raio de
está sendo enchido com água a uma taxa de
. Quão rápido a altura da água está aumentado?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado: o tanque é cilíndrico com raio
. - Dado: a água entra a uma taxa
. - Pedido: quão rápido a altura da água está aumentando, isto é, encontrar
(com unidades claras).
Observações imediatas que vamos usar depois: o raio está em centímetros e a taxa de volume em metros cúbicos por minuto — é preciso ter atenção às unidades antes de calcular.
Passo 2
Definimos as variáveis e a relação geométrica que liga volume e altura:
- Seja
o volume de água no tanque em função do tempo (unidades de volume). - Seja
a altura da água no tanque em função do tempo (unidades de comprimento). - O raio do cilindro é constante; chamamos
esse valor (não depende de ).
A fórmula do volume de um cilindro é
Aqui
é o volume,
é o raio da base e
é a altura da coluna de água. Explicando passo a passo: a base do cilindro é um círculo de área
e o volume é área da base vezes altura.
Passo 3
Agora usamos derivação em relação ao tempo (taxas relacionadas). Como
é constante, ao derivar ambos os lados da relação
em relação a
obtemos
Explicando:
é uma constante multiplicando
, então a derivada é constante vezes
.
Desse relacionamento isolamos a taxa pedida:
Isto diz: a rapidez com que a altura cresce é a taxa de volume dividida pela área da base — faz sentido físico: o mesmo volume adicional gera um aumento de altura maior se a área da base for menor.
Passo 4
Agora cuidamos das unidades e substituímos valores. Convém converter tudo para o mesmo sistema. Vamos trabalhar em metros (porque
está em
).
Converter o raio:
Calcular
:
A área da base é
.
Substituindo em
com
:
porque
.
Passo 5
Fazendo a aproximação numérica com
:
Se preferir ver em centímetros por minuto (às vezes mais intuitivo quando o raio foi dado em cm), converte-se multiplicando por
:
ou expressando exatamente:
Comentário prático e dica de prova: sempre confira as unidades antes de substituir. O passo chave aqui é notar que o raio é constante (o tanque não muda de forma), então a taxa de mudança da altura é simplesmente a taxa de volume dividida pela área da base.