Um tanque cilíndrico com raio de 5 c m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Quão rápido a altura da água está aumentado?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: o tanque é cilíndrico com raio 5\\ \text{cm}.
  • Dado: a água entra a uma taxa \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
  • Pedido: quão rápido a altura da água está aumentando, isto é, encontrar \dfrac{dh}{dt} (com unidades claras).
Observações imediatas que vamos usar depois: o raio está em centímetros e a taxa de volume em metros cúbicos por minuto — é preciso ter atenção às unidades antes de calcular.

Passo 2

Definimos as variáveis e a relação geométrica que liga volume e altura:
  • Seja V(t) o volume de água no tanque em função do tempo (unidades de volume).
  • Seja h(t) a altura da água no tanque em função do tempo (unidades de comprimento).
  • O raio do cilindro é constante; chamamos r esse valor (não depende de t).
A fórmula do volume de um cilindro é
V=\pi r^{2}h.
Aqui V é o volume, r é o raio da base e h é a altura da coluna de água. Explicando passo a passo: a base do cilindro é um círculo de área \pi r^2 e o volume é área da base vezes altura.

Passo 3

Agora usamos derivação em relação ao tempo (taxas relacionadas). Como r é constante, ao derivar ambos os lados da relação V=\pi r^{2}h em relação a t obtemos
\frac{dV}{dt}=\pi r^{2}\frac{dh}{dt}.
Explicando: \pi r^2 é uma constante multiplicando h(t), então a derivada é constante vezes \dfrac{dh}{dt}.
Desse relacionamento isolamos a taxa pedida:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}.
Isto diz: a rapidez com que a altura cresce é a taxa de volume dividida pela área da base — faz sentido físico: o mesmo volume adicional gera um aumento de altura maior se a área da base for menor.

Passo 4

Agora cuidamos das unidades e substituímos valores. Convém converter tudo para o mesmo sistema. Vamos trabalhar em metros (porque \dfrac{dV}{dt} está em \mathrm{m}^3/\mathrm{min}).
Converter o raio:
r=5\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m}.
Calcular r^{2}:
r^{2}=(0,05)^{2}=0,0025\\ \text{m}^{2}.
A área da base é \pi r^{2}=\pi\cdot 0,0025=0,0025\pi\\ \text{m}^{2}.
Substituindo em \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{\pi r^{2}}\dfrac{dV}{dt} com \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}:
\frac{dh}{dt}=\frac{3}{0,0025\pi}=\frac{1200}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min},
porque 3\div 0{,}0025=1200.

Passo 5

Fazendo a aproximação numérica com \pi\approx3{,}1416:
\frac{dh}{dt}\approx\frac{1200}{3{,}1416}\approx381{,}97\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.
Se preferir ver em centímetros por minuto (às vezes mais intuitivo quando o raio foi dado em cm), converte-se multiplicando por 100:
\frac{dh}{dt}\approx381{,}97\cdot 100\approx38197{,}0\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min},
ou expressando exatamente:
\frac{dh}{dt}=\frac{120000}{\pi}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}.
Comentário prático e dica de prova: sempre confira as unidades antes de substituir. O passo chave aqui é notar que o raio é constante (o tanque não muda de forma), então a taxa de mudança da altura é simplesmente a taxa de volume dividida pela área da base.

Resposta

\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1200}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\n
\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{120000}{\pi}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}

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