Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para encontrar os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existirem).
Informações fornecidas e o que é pedido:
Informações fornecidas e o que é pedido:
- Função:
- Deve-se achar os pontos onde a função tem máximo ou mínimo relativo (isto é, pontos críticos que correspondem a mudanças de crescimento para decrescimento ou vice‑versa).
- Não há outros dados (domínio implícito é todos os reais, porque
para todo ).
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicando devagar): para encontrar máximos/minimos relativos de uma função diferenciável usamos pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Nesta função a derivada existe para todo
(denominador nunca zera), então procuramos soluções de
.
Regra que vamos aplicar (quociente): se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui
e
. Vou calcular
e
:
Passo 3
Calcular
aplicando a regra do quociente, passo a passo:
Agora simplifico o numerador:
Portanto
Passo 4
Simplificar a expressão do numerador para estudar o sinal de
. Observação útil: escrever em forma de quadrado perfeito ajuda a entender onde é positivo ou negativo:
Verificação rápida:
, logo
. Correto.
Como o denominador
é sempre positivo para todo
, o sinal de
é o mesmo do numerador
.
Resolver
equivale a
, ou seja
Assim as soluções são
Portanto os pontos críticos são
e
. Não existem pontos onde a derivada deixa de existir.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos pelo sinal de
(teste da monotonicidade): como
,
-
quando , isto é, para . Nessa faixa e a função é crescente. -
quando , isto é, para ou . Nesses intervalos e a função é decrescente.
Conclusões de mudança de sinal:
- Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita): é um mínimo relativo. - Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita): é um máximo relativo.
Passo 6
Calcular os valores de
nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos extremos).
Para
escrevendo
:
Racionalizando (multiplicando num. e denom. por
) obtém-se
Voltando a
:
Para
:
Racionalizando (multiplicando por
):
Voltando a
:
Resumo: em
a função tem um mínimo relativo de valor
; em
a função tem um máximo relativo de valor
.