Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função f dada por:
f(x)=\frac{x-1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{x-1}{1+x^{2}}
e pede para encontrar os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existirem).
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Função: \,f(x)=\dfrac{x-1}{1+x^{2}}.
  • Deve-se achar os pontos onde a função tem máximo ou mínimo relativo (isto é, pontos críticos que correspondem a mudanças de crescimento para decrescimento ou vice‑versa).
  • Não há outros dados (domínio implícito é todos os reais, porque 1+x^{2}>0 para todo x).

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicando devagar): para encontrar máximos/minimos relativos de uma função diferenciável usamos pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Nesta função a derivada existe para todo x (denominador nunca zera), então procuramos soluções de \,f'(x)=0.
Regra que vamos aplicar (quociente): se \,f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x-1 e v(x)=1+x^{2}. Vou calcular u' e v':
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2x.

Passo 3

Calcular f'(x) aplicando a regra do quociente, passo a passo:
f'(x)=\frac{1\cdot(1+x^{2})-(x-1)\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador:
1+x^{2}-2x(x-1)=1+x^{2}-2x^{2}+2x=1 - x^{2}+2x.
Portanto
f'(x)=\frac{1 - x^{2} + 2x}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão do numerador para estudar o sinal de f'. Observação útil: escrever em forma de quadrado perfeito ajuda a entender onde é positivo ou negativo:
1 - x^{2} + 2x = 2 - (x-1)^{2}.
Verificação rápida: (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1, logo 2-(x-1)^{2}=2-x^{2}+2x-1=1-x^{2}+2x. Correto.
Como o denominador (1+x^{2})^{2} é sempre positivo para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador N(x)=2-(x-1)^{2}.
Resolver f'(x)=0 equivale a N(x)=0, ou seja
2-(x-1)^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}=2.
Assim as soluções são
x-1=\pm\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad x=1\pm\sqrt{2}.
Portanto os pontos críticos são x_{1}=1-\sqrt{2} e x_{2}=1+\sqrt{2}. Não existem pontos onde a derivada deixa de existir.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos pelo sinal de f' (teste da monotonicidade): como N(x)=2-(x-1)^{2},
  • N(x)>0 quando (x-1)^{2}<2, isto é, para 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}. Nessa faixa f'(x)>0 e a função é crescente.
  • N(x)<0 quando (x-1)^{2}>2, isto é, para x<1-\sqrt{2} ou x>1+\sqrt{2}. Nesses intervalos f'(x)<0 e a função é decrescente.
Conclusões de mudança de sinal:
  • Em x=1-\sqrt{2} a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita): é um mínimo relativo.
  • Em x=1+\sqrt{2} a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita): é um máximo relativo.

Passo 6

Calcular os valores de f nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos extremos).
Para x=1+\sqrt{2} escrevendo s=\sqrt{2}:
f(1+s)=\frac{(1+s)-1}{1+(1+s)^{2}}=\frac{s}{1+(1+2s+s^{2})}=\frac{s}{1+1+2s+2}=\frac{s}{4+2s}.
Racionalizando (multiplicando num. e denom. por 4-2s) obtém-se
f(1+s)=\frac{s(4-2s)}{8}=\frac{4s-2s^{2}}{8}=\frac{4s-4}{8}=\frac{s-1}{2}.
Voltando a \sqrt{2}:
f(1+\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}-1}{2}.
Para x=1-\sqrt{2}=1-s:
f(1-s)=\frac{-s}{1+(1-2s+s^{2})}=\frac{-s}{1+1-2s+2}=\frac{-s}{4-2s}.
Racionalizando (multiplicando por 4+2s):
f(1-s)=\frac{-s(4+2s)}{8}=\frac{-4s-2s^{2}}{8}=\frac{-4s-4}{8}=-\frac{1+s}{2}.
Voltando a \sqrt{2}:
f(1-\sqrt{2})=-\frac{1+\sqrt{2}}{2}.
Resumo: em x=1-\sqrt{2} a função tem um mínimo relativo de valor -\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}; em x=1+\sqrt{2} a função tem um máximo relativo de valor \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}.

Resposta

x=1-\sqrt{2} é mínimo relativo com f(1-\sqrt{2})=-\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}
x=1+\sqrt{2} é máximo relativo com f(1+\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}

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