Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função f dada por:
f(x)=2 \operatorname{sen}(x)+\frac{\cos (2 x)}{2},[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida no intervalo [0,2\pi]:
f(x)=2\sin(x)+\frac{\cos(2x)}{2},
e pede para encontrarmos os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existirem).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida em [0,2\pi].
  • Deve-se localizar pontos onde a função tem máximo relativo ou mínimo relativo (ou seja, pontos interiores onde a função muda de crescimento para decrescimento ou vice-versa).
  • Para encontrar esses pontos normalmente procuramos pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe; aqui a função é diferenciável em todo o intervalo, então procuraremos as soluções de \,f'(x)=0.

Passo 2

Plano de resolução (só para organizar a cabeça, sem resolver ainda):
  • Calcular a derivada f'(x) aplicando regras elementares: derivada de \sin e de \cos e a regra da cadeia quando necessário.
  • Resolver f'(x)=0 no intervalo [0,2\pi] para achar os pontos críticos.
  • Classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de inflexão usando teste de sinal de f' (análise do sinal antes e depois do ponto) — este teste é robusto quando a segunda derivada dá zero ou é inconclusiva.
    Vou explicar as regras que vou usar enquanto as aplico, passo a passo, para você conseguir repetir na prova.

Passo 3

Derivando a função (relembrando as regras usadas):
  • Regra: \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • Regra: \dfrac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia).
    Aplicando isso a cada termo de f:
f(x)=2\sin(x)+\frac{\cos(2x)}{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(2\sin(x)\big)=2\cos(x).
\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(2x)}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\big(-\sin(2x)\big)\cdot(2)=-\sin(2x).
Portanto,
f'(x)=2\cos(x)-\sin(2x).

Passo 4

Simplificar f'(x) usando identidade trigonométrica (isso facilita a resolução e a análise de sinal):
  • Identidade: \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
    Substituindo,
f'(x)=2\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)=2\cos(x)\big(1-\sin(x)\big).
Agora resolvemos f'(x)=0, ou seja,
2\cos(x)\big(1-\sin(x)\big)=0.
As soluções são dadas pelas duas equações:
\cos(x)=0 \quad\text{ou}\quad 1-\sin(x)=0.
Resolver em [0,2\pi]:
  • \cos(x)=0 em x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2}.
  • 1-\sin(x)=0 implica \sin(x)=1, que ocorre em x=\dfrac{\pi}{2}.
Logo os pontos críticos no intervalo são
x=\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{3\pi}{2}.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos — ideia e ferramentas:
  • Teste da segunda derivada: se f''(x_0)<0 então é máximo; se f''(x_0)>0 então é mínimo; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
  • Quando o teste da segunda derivada é inconclusivo (ou para maior segurança), usar o teste de sinal da primeira derivada: verificar se f' muda de positivo para negativo (máximo) ou de negativo para positivo (mínimo) ao passar pelo ponto crítico.
Calculando a segunda derivada (para tentar o teste):
Derivando f'(x)=2\cos(x)-\sin(2x):
\frac{d}{dx}\big(2\cos(x)\big)=-2\sin(x),
\frac{d}{dx}\big(-\sin(2x)\big)=-2\cos(2x).
Portanto
f''(x)=-2\sin(x)-2\cos(2x).
Avaliar em x=\dfrac{\pi}{2}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\pi)=-1.
Logo
f''\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\cdot1-2\cdot(-1)=-2+2=0.
Como f''\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, o teste da segunda derivada é inconclusivo em x=\dfrac{\pi}{2}.
Avaliar em x=\dfrac{3\pi}{2}:
\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\qquad \cos\!\left(2\cdot\frac{3\pi}{2}\right)=\cos(3\pi)=-1.
Logo
f''\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-2\cdot(-1)-2\cdot(-1)=2+2=4>0,
portanto por esse teste x=\dfrac{3\pi}{2} é um mínimo relativo (já está decidido).
Para x=\dfrac{\pi}{2} faremos o teste de sinal de f' (mais robusto quando a segunda derivada é zero).

Passo 6

Teste de sinal de f' usando a fatoração \,f'(x)=2\cos(x)\big(1-\sin(x)\big):
  • Observação útil: o fator 2 não altera o sinal, e o fator \,1-\sin(x)\, é não negativo perto de x=\dfrac{\pi}{2} (porque \sin tem máximo 1 ali).
    Analisando imediatamente à esquerda e à direita de x=\dfrac{\pi}{2}:
Tomemos x=\dfrac{\pi}{2}-h com h>0 pequeno.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-h\right)=\sin(h)>0 (pequeno e positivo).
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-h\right)=\cos(h)\approx 1-\tfrac{h^{2}}{2}, então 1-\sin(\cdot)\approx \tfrac{h^{2}}{2}>0.
    Assim f'(x)>0 imediatamente à esquerda de \dfrac{\pi}{2}.
Agora x=\dfrac{\pi}{2}+h com h>0 pequeno.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+h\right)=-\sin(h)<0.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+h\right)=\cos(h)\approx 1-\tfrac{h^{2}}{2}, então 1-\sin(\cdot)\approx \tfrac{h^{2}}{2}>0.
    Assim f'(x)<0 imediatamente à direita de \dfrac{\pi}{2}.
Conclusão do teste de sinal: f' muda de positivo para negativo ao passar por x=\dfrac{\pi}{2}, logo x=\dfrac{\pi}{2} é um ponto de máximo relativo.
Resumo das classificações:
  • x=\dfrac{\pi}{2}: máximo relativo.
  • x=\dfrac{3\pi}{2}: mínimo relativo.

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos pontos de extremo):
Calcular f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right):
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\cos\!\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)}{2}=2\cdot1+\frac{\cos(\pi)}{2}=2+\frac{-1}{2}=\frac{3}{2}.
Calcular f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right):
f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)+\frac{\cos\!\left(2\cdot\frac{3\pi}{2}\right)}{2}=2\cdot(-1)+\frac{\cos(3\pi)}{2}=-2+\frac{-1}{2}=-\frac{5}{2}.
Portanto os pontos de extremo relativos (com coordenadas (x,f(x))) são:
  • Máximo relativo em \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\right).
  • Mínimo relativo em \left(\dfrac{3\pi}{2},-\dfrac{5}{2}\right).

Resposta

Máximo relativo: \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\right)
Mínimo relativo: \left(\dfrac{3\pi}{2},-\dfrac{5}{2}\right)

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