Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função
dada por:
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida no intervalo
:
e pede para encontrarmos os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existirem).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida em
. - Deve-se localizar pontos onde a função tem máximo relativo ou mínimo relativo (ou seja, pontos interiores onde a função muda de crescimento para decrescimento ou vice-versa).
- Para encontrar esses pontos normalmente procuramos pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe; aqui a função é diferenciável em todo o intervalo, então procuraremos as soluções de
.
Passo 2
Plano de resolução (só para organizar a cabeça, sem resolver ainda):
- Calcular a derivada
aplicando regras elementares: derivada de e de e a regra da cadeia quando necessário. - Resolver
no intervalo para achar os pontos críticos. - Classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de inflexão usando teste de sinal de
(análise do sinal antes e depois do ponto) — este teste é robusto quando a segunda derivada dá zero ou é inconclusiva.
Vou explicar as regras que vou usar enquanto as aplico, passo a passo, para você conseguir repetir na prova.
Passo 3
Derivando a função (relembrando as regras usadas):
- Regra:
. - Regra:
(regra da cadeia).
Aplicando isso a cada termo de:
Derivando termo a termo:
Portanto,
Passo 4
Simplificar
usando identidade trigonométrica (isso facilita a resolução e a análise de sinal):
- Identidade:
.
Substituindo,
Agora resolvemos
, ou seja,
As soluções são dadas pelas duas equações:
Resolver em
:
-
em e . -
implica , que ocorre em .
Logo os pontos críticos no intervalo são
Passo 5
Classificação dos pontos críticos — ideia e ferramentas:
- Teste da segunda derivada: se
então é máximo; se então é mínimo; se o teste é inconclusivo. - Quando o teste da segunda derivada é inconclusivo (ou para maior segurança), usar o teste de sinal da primeira derivada: verificar se
muda de positivo para negativo (máximo) ou de negativo para positivo (mínimo) ao passar pelo ponto crítico.
Calculando a segunda derivada (para tentar o teste):
Derivando :
Derivando
Portanto
Avaliar em
:
Logo
Como
, o teste da segunda derivada é inconclusivo em
.
Avaliar em
:
Logo
portanto por esse teste
é um mínimo relativo (já está decidido).
Para
faremos o teste de sinal de
(mais robusto quando a segunda derivada é zero).
Passo 6
Teste de sinal de
usando a fatoração
:
- Observação útil: o fator
não altera o sinal, e o fator é não negativo perto de (porque tem máximo ali).
Analisando imediatamente à esquerda e à direita de:
Tomemos
com
pequeno.
-
(pequeno e positivo). -
, então .
Assimimediatamente à esquerda de .
Agora
com
pequeno.
-
. -
, então .
Assimimediatamente à direita de .
Conclusão do teste de sinal:
muda de positivo para negativo ao passar por
, logo
é um ponto de máximo relativo.
Resumo das classificações:
-
: máximo relativo. -
: mínimo relativo.
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos pontos de extremo):
Calcular
:
Calcular
:
Portanto os pontos de extremo relativos (com coordenadas
) são:
- Máximo relativo em
. - Mínimo relativo em
.
Resposta
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Mínimo relativo: