Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função f dada por: (g) f(x)=\left|x^{2}-1\right|
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existirem) da função f dada por
f(x)=\left|x^{2}-1\right|.
Informações fornecidas e observações iniciais:
A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio: \mathbb{R}).
O objetivo é localizar pontos onde f apresenta máximos ou mínimos relativos (pontos onde f muda de crescer para decrescer ou vice-versa).
Lembrete útil que será usado: pontos críticos são pontos onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe; também devemos verificar contornos de “troca” da expressão dentro do valor absoluto.
Passo 2
Transformar f\) em uma expressão sem o valor absoluto, escrevendo-a por partes. Lembre que, para qualquer número \(u\),
\[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=x^{2}-1\]. A condição \[x^{2}-1\ge 0 equivale a |x|\ge 1, e x^{2}-1<0 equivale a |x|<1. Portanto
Isto nos dá três intervalos a considerar separadamente: x<-1\], \(-1<x<1 e x>1. Nos pontos x=\pm 1 pode haver comportamento especial (troca de ramo).]
Passo 3
Calcular as derivadas nas partes onde a função é dada por uma expressão polinomial (ou seja, para x\neq\pm1).
Para o ramo x^{2}-1 (valendo quando |x|\ge 1), a derivada é
f'(x)=2x.
Para o ramo 1-x^{2} (valendo quando |x|<1), a derivada é
f'(x)=-2x.
Observação: essas derivadas valem apenas nos intervalos abertos onde a fórmula corresponde; nos pontos x=\pm1 a derivada pode não existir porque os ramos mudam ali.
Passo 4
Encontrar pontos onde a derivada se anula (pontos estacionários) dentro dos intervalos onde a derivada existe.
Resolver f'(x)=0 em cada ramo:
No ramo interno |x|<1 temos f'(x)=-2x. Igualando a zero,
-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Como 0 satisfaz |0|<1, x=0 é um candidato crítico (está dentro do intervalo onde a expressão e a derivada são válidas).
Nos ramos |x|\ge 1 a equação f'(x)=2x=0 daria x=0, mas x=0 não pertence a |x|\ge 1. Logo, nenhum zero de derivada aparece nos ramos externos.
Além disso, os pontos x=\pm 1 são candidatos porque ali a fórmula muda e a derivada pode não existir. Precisamos checar os dois tipos de candidatos: x=0 (derivada zero) e x=\pm1 (pontos de não diferenciabilidade).
Passo 5
Verificar a diferenciabilidade em x=\pm1 calculando as derivadas laterais.
Em x=1:
Derivada pela esquerda (usar ramo 1-x^{2}): \displaystyle f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}(-2x)=-2\cdot 1=-2.
Derivada pela direita (usar ramo x^{2}-1): \displaystyle f'_+(1)=\lim_{x\to1^+}(2x)=2\cdot 1=2.
Como f'_-(1)\neq f'_+(1), a derivada em x=1 não existe (há um “canto”).
Em x=-1:
Derivada pela esquerda (usar ramo x^{2}-1): \displaystyle f'_-( -1)=\lim_{x\to -1^-}(2x)=2\cdot(-1)=-2.
Derivada pela direita (usar ramo 1-x^{2}): \displaystyle f'_+(-1)=\lim_{x\to -1^+}(-2x)=-2\cdot(-1)=2.
Novamente f'_-( -1)\neq f'_+(-1), então a derivada em x=-1 não existe.
Portanto x=\pm1 são pontos especiais (candidatos a extremos) e devem ser investigados pela variação do sinal de f' ou pelo comportamento da função ao redor.
Passo 6
Fazer o estudo do sinal de f'(x) em cada intervalo para classificar os candidatos (teste da primeira derivada). Lembrando as derivadas:
Para x<-1: f'(x)=2x.
Para -1<x<1: f'(x)=-2x.
Para x>1: f'(x)=2x.
Escolher pontos teste em cada intervalo e/ou raciocinar por sinal:
Para x<-1 (por exemplo x=-2): 2x<0. Logo f'\!<0 ali → f está decrescendo nesse intervalo.
Para -1<x<0 (por exemplo x=-0,5): -2x>0. Logo f'\!>0 ali → f está crescendo nesse intervalo.
Para 0<x<1 (por exemplo x=0,5): -2x<0. Logo f'\!<0 ali → f está decrescendo nesse intervalo.
Para x>1 (por exemplo x=2): 2x>0. Logo f'\!>0 ali → f está crescendo nesse intervalo.
Agora analisar as mudanças:
Em x=-1: antes (em x<-1) a função decresce e depois (em -1<x<0) cresce. Decresce → cresce significa que x=-1 é um mínimo relativo.
Em x=0: antes (em -1<x<0) a função cresce e depois (em 0<x<1) decresce. Cresce → decresce significa que x=0 é um máximo relativo.
Em x=1: antes (em 0<x<1) a função decresce e depois (em x>1) cresce. Decresce → cresce significa que x=1 é um mínimo relativo.
Passo 7
Calcular os valores da função nesses pontos para apresentar os valores dos extremos:
f(0)=\left|0^{2}-1\right|=|{-1}|=1.
f(1)=\left|1^{2}-1\right|=|0|=0.
f(-1)=\left|(-1)^{2}-1\right|=|0|=0.
Observações finais úteis:
Os mínimos relativos em x=\pm1 têm valor 0. Como f(x)\ge 0 para todo x, esses mínimos são também mínimos globais da função.
O máximo em x=0 tem valor 1. Porém não existe máximo global na reta inteira, porque para |x| grande f(x)=x^{2}-1 cresce sem bound (por exemplo f(10)=99>1), então x=0 é apenas máximo relativo (local), não máximo absoluto.
Resposta
Máximo relativo: x=0, com valor f(0)=1.
Mínimos relativos: x=-1 e x=1, com valores f(-1)=0 e f(1)=0.