Determine a função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=a x^{2}+b x+c, sabendo que f(1)=0 e para x=\frac{1}{6} a função f admite um mínimo relativo igual a -\frac{25}{12}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A função é um polinômio quadrático f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dado por f(x)=a x^{2}+b x+c, com a,b,c reais e desconhecidos.
  • Sabe-se que f(1)=0.
  • Sabe-se que em x=\dfrac{1}{6} a função admite um mínimo relativo cujo valor é -\dfrac{25}{12}. Ou seja, f\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=-\dfrac{25}{12} e x=\dfrac{1}{6} é um ponto crítico onde há mínimo relativo.
As perguntas implícitas são: determinar os coeficientes a,b,c e, portanto, escrever explicitamente a função f(x).

Passo 2

Entendendo o que significa “mínimo relativo” para um polinômio quadrático e as condições que ele impõe (uma mini-aula curta e prática):
  • Para uma função diferenciável, um ponto x_0 ser ponto crítico significa f'(x_0)=0. Aqui, como x=\dfrac{1}{6} é ponto onde ocorre o extremo relativo, necessariamente f'\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=0.
  • Para um polinômio quadrático f(x)=a x^{2}+b x+c, a derivada é f'(x)=2a x + b. Essa fórmula vem de derivar termo a termo: a derivada de a x^2 é 2a x, a de b x é b e a de c é 0.
  • O tipo do extremo (mínimo ou máximo) é determinado pela segunda derivada: f''(x)=2a. Para ter um mínimo relativo em um ponto interior é necessário f''(x)>0, ou seja, a>0.
Vamos aplicar isso.

Passo 3

Impor a condição de ponto crítico em x=\dfrac{1}{6}.
  • Escrevendo a derivada: f'(x)=2a x + b.
  • Portanto, a condição f'\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=0 dá:
2a\cdot\frac{1}{6}+b=0.
  • Simplificando 2a\cdot\frac{1}{6}=\frac{a}{3}, obtemos
\frac{a}{3}+b=0.
  • Isolando b:
b=-\frac{a}{3}.
Também registramos a restrição para ser mínimo: f''(x)=2a>0\Rightarrow a>0. (Isso confirma que o coeficiente a será positivo; servirá para checagem.)

Passo 4

Escrever a condição f(1)=0 como equação entre a,b,c.
  • Substituindo x=1 em f(x)=a x^{2}+b x+c obtemos:
a + b + c = 0.
  • Vamos usar essa equação depois, substituindo b já encontrado.

Passo 5

Usar a informação do valor em x=\dfrac{1}{6}, isto é f\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=-\dfrac{25}{12}.
  • Substituindo x=\dfrac{1}{6} em f(x):
a\left(\frac{1}{6}\right)^{2} + b\left(\frac{1}{6}\right) + c = -\frac{25}{12}.
  • Calcule \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{1}{36}, então a equação fica
\frac{a}{36} + \frac{b}{6} + c = -\frac{25}{12}.

Passo 6

Substituir b=-\dfrac{a}{3} nas duas equações para obter um sistema em a e c.
  • Na equação de f(1)=0, com b=-\dfrac{a}{3}:
a + \left(-\frac{a}{3}\right) + c = 0.
  • Simplificando a - \dfrac{a}{3} = \dfrac{2a}{3}, obtemos
\frac{2a}{3} + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -\frac{2a}{3}.
  • Na equação de f\!\left(\dfrac{1}{6}\right), substituindo b=-\dfrac{a}{3}:
\frac{a}{36} + \frac{1}{6}\left(-\frac{a}{3}\right) + c = -\frac{25}{12}.
  • Calcule \frac{1}{6}\cdot\left(-\frac{a}{3}\right)=-\frac{a}{18}. Assim:
\frac{a}{36} - \frac{a}{18} + c = -\frac{25}{12}.
  • Combine os coeficientes de a: \dfrac{a}{36}-\dfrac{a}{18}=\dfrac{a}{36}-\dfrac{2a}{36}=-\dfrac{a}{36}. Então:
-\frac{a}{36} + c = -\frac{25}{12}.

Passo 7

Agora substitua c=-\dfrac{2a}{3} na última equação para resolver para a.
  • Substituindo:
-\frac{a}{36} + \left(-\frac{2a}{3}\right) = -\frac{25}{12}.
  • Colocar em comum denominador ou multiplicar ambos os lados por 36 para facilitar:
36\left(-\frac{a}{36}\right) + 36\left(-\frac{2a}{3}\right) = 36\left(-\frac{25}{12}\right).
  • Calculando termo a termo:
- a + \left(-24a\right) = -75.
(obs.: 36\cdot(-2a/3) = -24a e 36\cdot(-25/12) = -75.)
  • Somando os a-termos:
-25a = -75.
  • Portanto:
a = 3.

Passo 8

Encontrar b e c a partir de a=3.
  • Usando b=-\dfrac{a}{3}:
b = -\frac{3}{3} = -1.
  • Usando c=-\dfrac{2a}{3}:
c = -\frac{2\cdot 3}{3} = -2.

Passo 9

Montar a função e verificar rapidamente as condições (cheque final, passo a passo):
  • A função encontrada é
f(x)=3x^{2}-x-2.
  • Verificação rápida:
    • f(1)=3-1-2=0 conforme pedido.
    • f'(x)=6x-1, então f'\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=6\cdot\dfrac{1}{6}-1=1-1=0, logo é ponto crítico.
    • f''(x)=6>0, portanto o ponto crítico é mínimo (coerente com “mínimo relativo”).
    • Valor em x=\dfrac{1}{6}:
    f\!\left(\frac{1}{6}\right)=3\cdot\frac{1}{36}-\frac{1}{6}-2=\frac{1}{12}-\frac{1}{6}-2=\frac{1-2-24}{12}=-\frac{25}{12},que confere com o enunciado.

Resposta

f(x)=3x^{2}-x-2

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