Determine a função
dada por
, sabendo que
e para
a função
admite um mínimo relativo igual a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- A função é um polinômio quadrático
dado por , com reais e desconhecidos. - Sabe-se que
. - Sabe-se que em
a função admite um mínimo relativo cujo valor é . Ou seja, e é um ponto crítico onde há mínimo relativo.
As perguntas implícitas são: determinar os coeficientes
e, portanto, escrever explicitamente a função
.
Passo 2
Entendendo o que significa “mínimo relativo” para um polinômio quadrático e as condições que ele impõe (uma mini-aula curta e prática):
- Para uma função diferenciável, um ponto
ser ponto crítico significa . Aqui, como é ponto onde ocorre o extremo relativo, necessariamente . - Para um polinômio quadrático
, a derivada é . Essa fórmula vem de derivar termo a termo: a derivada de é , a de é e a de é . - O tipo do extremo (mínimo ou máximo) é determinado pela segunda derivada:
. Para ter um mínimo relativo em um ponto interior é necessário , ou seja, .
Vamos aplicar isso.
Passo 3
Impor a condição de ponto crítico em
.
- Escrevendo a derivada:
. - Portanto, a condição
dá:
- Simplificando
, obtemos
- Isolando
:
Também registramos a restrição para ser mínimo:
. (Isso confirma que o coeficiente
será positivo; servirá para checagem.)
Passo 4
Escrever a condição
como equação entre
.
- Substituindo
em obtemos:
- Vamos usar essa equação depois, substituindo
já encontrado.
Passo 5
Usar a informação do valor em
, isto é
.
- Substituindo
em :
- Calcule
, então a equação fica
Passo 6
Substituir
nas duas equações para obter um sistema em
e
.
- Na equação de
, com :
- Simplificando
, obtemos
- Na equação de
, substituindo :
- Calcule
. Assim:
- Combine os coeficientes de
: . Então:
Passo 7
Agora substitua
na última equação para resolver para
.
- Substituindo:
- Colocar em comum denominador ou multiplicar ambos os lados por
para facilitar:
- Calculando termo a termo:
(obs.:
e
.)
- Somando os
-termos:
- Portanto:
Passo 8
Encontrar
e
a partir de
.
- Usando
:
- Usando
:
Passo 9
Montar a função e verificar rapidamente as condições (cheque final, passo a passo):
- A função encontrada é
- Verificação rápida:
-
conforme pedido. -
, então , logo é ponto crítico. -
, portanto o ponto crítico é mínimo (coerente com “mínimo relativo”). - Valor em
:
que confere com o enunciado. -