Verifique que os valores extremos absolutos da função
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
e pede para verificar os valores extremos absolutos (máximo absoluto e mínimo absoluto) de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio: todos os reais, isto é
. - Há uma quebra na definição em
(ponto de junção entre as duas expressões). - Para procurar extremos absolutos é preciso considerar: pontos críticos nas partes internas de cada ramo (onde a derivada é zero ou não existe), o ponto de junção
, e o comportamento da função quando .]
Passo 2
Definição e estratégia (mini-aula rápida):
- Um ponto
é máximo absoluto se para todo do domínio. Um mínimo absoluto se para todo . - Candidatos a extremos absolutos são: pontos críticos (onde
ou não existe) dentro de cada ramo, pontos de junção entre ramos (aqui ) e, quando o domínio é ilimitado, o comportamento quando (porque a função pode ir a e então não haver extremo absoluto).
Vou calcular derivadas em cada ramo, achar pontos críticos admissíveis, avaliarnesses pontos e estudar os limites em .
Passo 3
Derivada no ramo esquerdo (
): para
temos
.
Derivando:
Derivando:
Resolver
:
Dos dois candidatos, apenas
pertence ao ramo esquerdo (
); o ponto
não é admissível neste ramo.
Classificação local em : segunda derivada
Classificação local em
portanto
é um ponto de máximo local para o ramo esquerdo. Avaliando a função:
Passo 4
Derivada no ramo direito (
): para
temos
.
Derivando:
Derivando:
Resolver
em
dá
, mas
não pertence ao intervalo aberto
. Assim, não há pontos críticos no interior do ramo direito. Observação: o ponto
é ponto de junção e deve ser tratado separadamente.
Passo 5
Estudo do ponto de junção
e sinais das derivadas (para ver se é extremo local):
- Valor em
: como , usamos o ramo esquerdo e temos
- Comportamento das derivadas perto de
: para ligeiramente negativo (no ramo esquerdo), . Se então e , ou seja está decrescendo ao chegar em pela esquerda. Para , , ou seja está crescendo à direita de . Assim, passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita) em , logo é um mínimo local. Avaliamos .
Passo 6
Comparação entre os valores encontrados e comportamento em infinito:
- Pontos críticos / candidatos com seus valores:
-
: máximo local com . -
: mínimo local com .
-
- Comportamento em
e : - Para
, para vale e então Isso mostra que a função é ilimitada acima; portanto NÃO existe máximo absoluto (pois existem valores arbitrariamente grandes de ). - Para
, para vale cujo termo dominante é , então Isso mostra que a função é ilimitada abaixo; portanto NÃO existe mínimo absoluto (pois existem valores de arbitrariamente negativos).
- Para
Passo 7
Conclusão final (explicação resumida e motivadora):
- Apesar de existirem extremos locais (
é máximo local com ; é mínimo local com ), a função cresce sem limite para quando e decresce sem limite para quando . Por isso não há pontos que dominem todos os outros em valor; não existem extremos absolutos.
Resposta
Máximo absoluto: não existe.
Mínimo absoluto: não existe.
Mínimo absoluto: não existe.