Verifique que os valores extremos absolutos da função f dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x^{3}-3 x, & \text { se } & x \leq 0 \\\ x^{2} & \text { se } & x>0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x^{3}-3x, & \text{se } x\le 0,\\[4pt] x^{2}, & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede para verificar os valores extremos absolutos (máximo absoluto e mínimo absoluto) de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: todos os reais, isto é (-\infty,\infty).
  • Há uma quebra na definição em x=0 (ponto de junção entre as duas expressões).
  • Para procurar extremos absolutos é preciso considerar: pontos críticos nas partes internas de cada ramo (onde a derivada é zero ou não existe), o ponto de junção x=0, e o comportamento da função quando x\to\pm\infty.]

Passo 2

Definição e estratégia (mini-aula rápida):
  • Um ponto c é máximo absoluto se f\text{(c)}\ge f(x) para todo x do domínio. Um mínimo absoluto se f\text{(c)}\le f(x) para todo x.
  • Candidatos a extremos absolutos são: pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) dentro de cada ramo, pontos de junção entre ramos (aqui x=0) e, quando o domínio é ilimitado, o comportamento quando x\to\pm\infty (porque a função pode ir a \pm\infty e então não haver extremo absoluto).
    Vou calcular derivadas em cada ramo, achar pontos críticos admissíveis, avaliar f nesses pontos e estudar os limites em \pm\infty.

Passo 3

Derivada no ramo esquerdo ( x\le 0): para x\le 0 temos f(x)=x^{3}-3x.
Derivando:
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
Resolver f'(x)=0:
3(x^{2}-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Dos dois candidatos, apenas x=-1 pertence ao ramo esquerdo ( x\le 0); o ponto x=1 não é admissível neste ramo.
Classificação local em x=-1: segunda derivada
f''(x)=6x,\qquad f''(-1)=6(-1)=-6<0,
portanto x=-1 é um ponto de máximo local para o ramo esquerdo. Avaliando a função:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2.

Passo 4

Derivada no ramo direito ( x>0): para x>0 temos f(x)=x^{2}.
Derivando:
f'(x)=2x.
Resolver f'(x)=0 em x>0 x=0, mas x=0 não pertence ao intervalo aberto x>0. Assim, não há pontos críticos no interior do ramo direito. Observação: o ponto x=0 é ponto de junção e deve ser tratado separadamente.

Passo 5

Estudo do ponto de junção x=0 e sinais das derivadas (para ver se é extremo local):
  • Valor em x=0: como 0\le 0, usamos o ramo esquerdo e temos
f(0)=0^{3}-3\cdot 0=0.
  • Comportamento das derivadas perto de 0: para x ligeiramente negativo (no ramo esquerdo), f'(x)=3(x^{2}-1). Se x\in(-1,0) então x^{2}<1 e f'(x)<0, ou seja f está decrescendo ao chegar em 0 pela esquerda. Para x>0, f'(x)=2x>0, ou seja f está crescendo à direita de 0. Assim, f passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita) em 0, logo x=0 é um mínimo local. Avaliamos f(0)=0.

Passo 6

Comparação entre os valores encontrados e comportamento em infinito:
  • Pontos críticos / candidatos com seus valores:
    • x=-1: máximo local com f(-1)=2.
    • x=0: mínimo local com f(0)=0.
  • Comportamento em \infty e -\infty:
    • Para x\to +\infty, para x>0 vale f(x)=x^{2} e então \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} x^{2}=+\infty.Isso mostra que a função é ilimitada acima; portanto NÃO existe máximo absoluto (pois existem valores arbitrariamente grandes de f).
    • Para x\to -\infty, para x\le 0 vale f(x)=x^{3}-3x cujo termo dominante é x^{3}, então \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} (x^{3}-3x)=-\infty.Isso mostra que a função é ilimitada abaixo; portanto NÃO existe mínimo absoluto (pois existem valores de f arbitrariamente negativos).

Passo 7

Conclusão final (explicação resumida e motivadora):
  • Apesar de existirem extremos locais ( x=-1 é máximo local com f(-1)=2; x=0 é mínimo local com f(0)=0), a função cresce sem limite para +\infty quando x\to+\infty e decresce sem limite para -\infty quando x\to-\infty. Por isso não há pontos que dominem todos os outros em valor; não existem extremos absolutos.

Resposta

Máximo absoluto: não existe.
Mínimo absoluto: não existe.

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