Considere a função
f(x, y)=x^2+y^2+beta x y
com o parâmetro beta in R.
Usando o teste das segundas derivadas, conclua que a origem é ponto de sela se |beta|>2 e mínimo local se |beta|<2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o ponto crítico na origem da função f(x,y)=x^2+y^2+beta xy usando o teste das segundas derivadas. Vamos precisar calcular gradiente, Hessiana e aplicar as condições do teste em função de beta.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de ordem 1:
fx=partial fpartial x=2x+beta y, fy=partial fpartial y=2y+beta x
No ponto (0,0) temos fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, logo a origem é um ponto crítico.

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx=2, fyy=2, fxy=fyx=beta
A matriz Hessiana fica:
H=2 & beta beta & 2

Passo 4

O determinante da Hessiana é
D=det(H)=2cdot 2-beta^2=4-beta^2
Pelo teste das segundas derivadas:
- Se D>0 e fxx>0, temos mínimo local.
- Se D<0, temos ponto de sela.

Passo 5

Aplicando as condições em função de beta:
  • D>0 se 4-beta^2>0, ou seja, |beta|<2. Como fxx=2>0, dá mínimo local.
  • D<0 se 4-beta^2<0, ou seja, |beta|>2, o que implica ponto de sela.

Resposta

A origem é mínimo local se |beta|<2 e ponto de sela se |beta|>2.

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