com o parâmetro .
Usando o teste das segundas derivadas, conclua que a origem é ponto de sela se e mínimo local se .
Passo 1
O enunciado pede para classificar o ponto crítico na origem da função usando o teste das segundas derivadas. Vamos precisar calcular gradiente, Hessiana e aplicar as condições do teste em função de .
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de ordem 1:
No ponto temos e , logo a origem é um ponto crítico.
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
A matriz Hessiana fica:
Passo 4
O determinante da Hessiana é
D=det(H)=2cdot 2-beta^2=4-beta^2
Pelo teste das segundas derivadas:
- Se D>0 e fxx>0, temos mínimo local.
- Se D<0, temos ponto de sela.
Passo 5
Aplicando as condições em função de beta:
D>0 se 4-beta^2>0, ou seja, |beta|<2. Como fxx=2>0, dá mínimo local.
D<0 se 4-beta^2<0, ou seja, |beta|>2, o que implica ponto de sela.
Resposta
A origem é mínimo local se |beta|<2 e ponto de sela se |beta|>2.