Encontre os pontos de mínimo e máximo da função
na região do plano delimitada pelo quadrado
e
(um conjunto fechado e limitado). (Resposta: mínimo
, máximo
e
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de mínimo e máximo da função
dentro de um quadrado no plano onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de pontos críticos, além de verificar os valores da função nas bordas do quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Como
nunca é zero, temos que
, o que implica que
.
Para
:
Novamente,
nunca é zero, então
, o que dá
.
Portanto, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e também nas bordas do quadrado
e
.
Primeiro, avaliamos a função no ponto crítico:
Em seguida, vamos verificar os cantos do quadrado, onde os valores de
e
são extremos:
Calculando a função nesses pontos:
Resposta
Portanto, dentro da região delimitada pelo quadrado
e
, a função
tem um ponto de mínimo em
e pontos de máximo em
e
.