Encontre os pontos de mínimo e máximo da função
f(x, y)=e^x^2+y^2+y,
na região do plano delimitada pelo quadrado |x| <= 1 e |y| <= 1 (um conjunto fechado e limitado). (Resposta: mínimo ( 0,-1 / 2 ), máximo (-1,1) e (1,1) )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de mínimo e máximo da função
f(x, y) = e^x^2 + y^2 + y,
dentro de um quadrado no plano onde |x| <= 1 e |y| <= 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de pontos críticos, além de verificar os valores da função nas bordas do quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = e^x^2 + y^2 + y cdot 2x
E a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y = e^x^2 + y^2 + y cdot (2y + 1)

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Para partial fpartial x = 0:
e^x^2 + y^2 + y cdot 2x = 0
Como e^x^2 + y^2 + y nunca é zero, temos que 2x = 0, o que implica que x = 0.
Para partial fpartial y = 0:
e^x^2 + y^2 + y cdot (2y + 1) = 0
Novamente, e^x^2 + y^2 + y nunca é zero, então 2y + 1 = 0, o que dá y = -12.
Portanto, o único ponto crítico dentro da região é (0, -12).

Passo 4

Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e também nas bordas do quadrado |x| <= 1 e |y| <= 1.
Primeiro, avaliamos a função no ponto crítico:
f(0, -12) = e^0 + (-12)^2 + (-12) = e^0 + 14 - 12 = e^-14
Em seguida, vamos verificar os cantos do quadrado, onde os valores de x e y são extremos:
  • (-1, 1)
  • (1, 1)
Calculando a função nesses pontos:
f(-1, 1) = e^(-1)^2 + (1)^2 + 1 = e^1 + 1 + 1 = e^3
f(1, 1) = e^(1)^2 + (1)^2 + 1 = e^1 + 1 + 1 = e^3

Resposta

Portanto, dentro da região delimitada pelo quadrado |x| <= 1 e |y| <= 1, a função f(x, y) = e^x^2 + y^2 + y tem um ponto de mínimo em (0, -12) e pontos de máximo em (-1, 1) e (1, 1).

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