Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F(x) definida em I tal que F^prime(x)=f(x) para todo x em I. Por exemplo, a função F(x)=13 x^3 é uma primitiva de f(x)=x^2. Note também que qualquer função da forma F(x)=13 x^3+C, onde C representa uma constante, também é uma primitiva para f(x)=x^2. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
f(x)=a^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar primitiva de uma função exponencial f(x)=a^x, ou seja, achar F(x) tal que F′(x)=a^x. Estamos em Integração, usando a regra da antiderivação de exponenciais.

Passo 2

Sabemos da derivada de uma exponencial geral que d/dx[ a^x ]=a^x·ln(a). Ou seja, para invertermos essa operação e obter F(x) cuja derivada seja a^x, basta “dividir” por ln(a).

Passo 3

Logo, tomando F(x)= a^xln(a)+C temos F′(x)= 1ln(a)·ax·ln(a)=ax, conforme desejado. Se a=1, então f(x)=1 e a primitiva é F(x)=x+C.

Resposta

As primitivas de f(x)=a^x são F(x)= a^xln(a)+C, e no caso especial a=1 temos F(x)=x+C.

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