Seja
uma função definida num intervalo
. Uma primitiva de
em
é uma função
definida em
tal que
para todo
em I. Por exemplo, a função
é uma primitiva de
. Note também que qualquer função da forma
, onde
representa uma constante, também é uma primitiva para
. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar primitiva de uma função exponencial f(x)=a^x, ou seja, achar F(x) tal que F′(x)=a^x. Estamos em Integração, usando a regra da antiderivação de exponenciais.
Passo 2
Sabemos da derivada de uma exponencial geral que d/dx[ a^x ]=a^x·ln(a). Ou seja, para invertermos essa operação e obter F(x) cuja derivada seja a^x, basta “dividir” por ln(a).
Passo 3
Logo, tomando F(x)=
+C temos F′(x)=
·ax·ln(a)=ax, conforme desejado. Se a=1, então f(x)=1 e a primitiva é F(x)=x+C.
Resposta
As primitivas de f(x)=a^x são F(x)=
+C, e no caso especial a=1 temos F(x)=x+C.