Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f no intervalo I, em cada caso a seguir.
f(x)=1x+ln x, I=[12, 4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de mínimo e máximo de
f(x)=1x+ln x
no intervalo fechado
I=l[tfrac12,4r]
Como f é diferenciável em l(tfrac12,4r), pelo Teorema de Fermat os candidatos a extremos são os pontos onde f'(x)=0 e os extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = -1x^2 + 1x = -1 + xx^2 = x-1x^2
Logo, f'(x)=0 se, e somente se,
x-1 = 0 Longrightarrow x = 1
Esse é o único ponto crítico em l(tfrac12,4r).

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos candidatos:
fl(tfrac12r) = 1tfrac12 + ln!l(tfrac12r) = 2 - ln 2,
f(1) = 11 + ln 1 = 1 + 0 = 1,
f(4) = 14 + ln 4 = 14 + 2ln 2

Passo 4

Comparamos os valores:
2 - ln 2 approx 1,307, 1, 14 + 2ln 2 approx 1,636
O menor valor é f(1)=1 e o maior é f(4)=tfrac14+2ln2.

Resposta

O ponto de mínimo é
x=1, f(1)=1,
e o ponto de máximo é
x=4, f(4)=14+2ln2

Exercícios relacionados