Para a equação ( y=-2 x^wed>= 2+4 x+6 ), encontre o vértice e desenhe o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede para a função quadrática
y = -2x^2 + 4x + 6
encontrar o vértice e esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é estudo de parábolas: usamos que, para
y = ax^2 + bx + c,
o vértice tem abscissa xv = -tfracb2a e ordenada yv = f(xv). Depois descrevemos a concavidade e pontos-chave para desenhar.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da parábola:
a = -2, b = 4, c = 6

Passo 3

Calculamos a abscissa do vértice com a fórmula
xv = -b2a = -42cdot(-2) = 1

Passo 4

Agora obtemos a ordenada do vértice avaliando f(1):
yv = -2cdot1^2 + 4cdot1 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8
Logo, o vértice é (1,8).

Passo 5

Para ajudar no esboço, determinamos os interceptos com os eixos.
Intercepto em y: tomamos x=0 e obtemos
y = -2cdot0^2 + 4cdot0 + 6 = 6,
então passa por (0,6).
Interceptos em x: resolvemos
-2x^2 + 4x + 6 = 0 Long<=ftrightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0 Long<=ftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0
cuja solução é
x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo x=-1 ou x=3. Os pontos são (-1,0) e (3,0).

Passo 6

A parábola tem a<0, então abre para baixo. A sua linha de simetria é x=1. Com vértice em (1,8), interceptos em (-1,0), (3,0) e (0,6), podemos agora esboçar:

Passo 7

Esboço do gráfico (valores chave marcados):
eixo x ─────────────────\to
^ • \left(\left(3,0\right)\right)
| • \left(\left(1,8\right)\right)
| /¯¯¯¯¯¯\
| / \
| / \
| • \left(-\left(1,0\right)\right) • \left(\left(0,6\right)\right)
|/───────────────────────────\to eixo y

Resposta

O vértice é (1,8). O gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, interceptos em (-1,0), (3,0) e (0,6), e eixo de simetria x=1.

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