Determine lim n infty n!n^k a^n.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limntoinftyn!n^ka^n,
onde k é um inteiro fixo e a é uma constante real. Para mostrar que essa sequência diverge, vamos usar o teste da razão para sequências, que consiste em estudar
rn = un+1un,
sendo un = n!n^ka^n. Se rnto L>1 ou rntoinfty, então untoinfty.

Passo 2

Calculemos
rn = (n+1)!(n+1)^ka^,n+1n!n^ka^n = (n+1)!,n^ka^n(n+1)^ka^n+1,n! = n+1a,gl(nn+1gr)^k

Passo 3

Observe que
gl(nn+1gr)^k=l(1-1n+1r)^klongrightarrow1 e n+1alongrightarrowinfty quando ntoinfty
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rnlongrightarrowinfty,
o que implica que un cresce sem limite.

Resposta

limntoinftyn!n^ka^n = +infty

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