Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f no intervalo I, em cada caso a seguir.
f(x)=3 x^4-8 x^3+6 x^2, I=[-12, 12]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de mínimo e máximo da função
f(x)=3x^4-8x^3+6x^2
no intervalo fechado I=[-tfrac12,tfrac12].
Para isso vamos usar a teoria de cálculo de extremos em intervalos fechados:
  1. Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
  2. Avaliar f nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo.
  3. Comparar os valores para determinar o mínimo e o máximo globais.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(3x^4-8x^3+6x^2r) =12x^3-24x^2+12x
Fatorando:
f'(x)=12xl(x^2-2x+1r) =12x,(x-1)^2
Os candidatos a ponto crítico vêm de f'(x)=0, ou seja
12x,(x-1)^2=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=1
Como x=1 está fora de I, o único ponto crítico no interior é x=0.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos x=-tfrac12, x=0 e x=tfrac12.
fl(-tfrac12r) =3l(-tfrac12r)^4 -8l(-tfrac12r)^3 +6l(-tfrac12r)^2 =tfrac316+1+tfrac32 =tfrac316+tfrac52 =tfrac4316
f(0)=0
fl(tfrac12r) =3l(tfrac12r)^4 -8l(tfrac12r)^3 +6l(tfrac12r)^2 =tfrac316-1+tfrac32 =tfrac316+tfrac12 =tfrac1116

Passo 4

Comparando os valores:
f(0)=0, fl(tfrac12r)=tfrac1116approx0,6875, fl(-tfrac12r)=tfrac4316approx2,6875
O menor valor é 0 em x=0 e o maior é tfrac4316 em x=-tfrac12.

Resposta

Mínimo absoluto em x=0 com f(0)=0.
Máximo absoluto em x=-tfrac12 com f(-tfrac12)=tfrac4316.

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